Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função definida por partes e precisamos fazer três coisas: esboçar o gráfico dela, descobrir qual é o maior domínio possível (ou seja, os valores de $ x $ que a função aceita) e determinar a imagem (os possíveis valores de $ f(x) $). Para isso, vamos precisar entender cada parte da função, analisar os intervalos em que cada expressão vale e aplicar conceitos básicos de funções como domínio, imagem e gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função, que é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Nosso objetivo é juntar os intervalos fornecidos para encontrar o domínio total.
A função é definida em três partes:
- $ f(x) = |x + 1| $ para $ -4 < x < -2 $
- $ f(x) = x $ para $ -2 < x < 0 $
- $ f(x) = -x^{2} + 2 $ para $ 1 \leq x < 3 $
Observamos que existem gaps entre $ 0 $ e $ 1 $, então vamos considerar somente os intervalos onde a função está definida.
Então, o domínio da função é a união desses intervalos:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores de $ f(x) $. Para isso, vamos analisar cada parte da função separadamente.
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Para $ f(x) = |x + 1| $ com $ -4 < x < -2 $:A expressão $ |x + 1| $ sempre dá valores positivos ou zero. Vamos encontrar os valores mínimo e máximo de $ f(x) $ nesse intervalo.
- Quando $ x = -4 $: $ f(-4) = |-4 + 1| = 3 $
- Quando $ x = -2 $: $ f(-2) = |-2 + 1| = 1 $
Assim, $ f(x) $ varia de 1 a 3 nesse intervalo. -
Para $ f(x) = x $ com $ -2 < x < 0 $:Aqui, $ f(x) $ é simplesmente $ x $, então os valores de $ f(x) $ vão de $ -2 $ a $ 0 $.
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Para $ f(x) = -x^{2} + 2 $ com $ 1 \leq x < 3 $:Essa é uma parábola invertida. Vamos encontrar o vértice para saber o valor máximo.A forma geral é $ f(x) = -x^{2} + 2 $, onde o vértice está em $ x = 0 $. Porém, nosso intervalo é de 1 a 3.
- Quando $ x = 1 $: $ f(1) = -1 + 2 = 1 $
- Quando $ x = 3 $: $ f(3) = -9 + 2 = -7 $
Assim, $ f(x) $ diminui de 1 a -7 nesse intervalo.
Juntando tudo, a imagem total da função é:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função para visualizar melhor.
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Para $ -4 < x < -2 $, $ f(x) = |x + 1| $:
- É uma linha em forma de “V” deslocada para a esquerda.
- Passa por $ (-4, 3) $ e $ (-2, 1) $.
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Para $ -2 < x < 0 $, $ f(x) = x $:
- É uma linha reta que passa de $ (-2, -2) $ a $ (0, 0) $.
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Para $ 1 \leq x < 3 $, $ f(x) = -x^{2} + 2 $:
- É uma parábola invertida começando em $ (1, 1) $ e descendo até $ (3, -7) $.
O gráfico terá lacunas entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, já que a função não está definida nesse intervalo.
Resposta
O domínio da função é $ D = (-4, -2) \cup (-2, 0) \cup [1, 3) $ e a imagem é $ I = [-7, 3] $. O gráfico da função é composto por:
- Uma parte em forma de “V” de $ (-4, 3) $ a $ (-2, 1) $,
- Uma linha reta de $ (-2, -2) $ a $ (0, 0) $,
- Uma parábola invertida de $ (1, 1) $ a $ (3, -7) $.