O volume de um cilindro é dado por
, onde
é o raio de sua base e
sua altura.
Para uma altura fixa
, determine o raio que este cilindro deve ter para que seu volume seja de 1L. Qual a superfície desse cilindro?
Para uma altura fixa
Passo 1
Estamos lidando com um exercício de geometria que envolve cilindros. Precisamos encontrar o raio de um cilindro com altura fixa de 5 cm que tenha um volume de 1 litro (que é igual a 1000 cm³). Depois disso, vamos calcular a superfície desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de volume e área da superfície de um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. Geralmente, o volume $ V $ é dado por:
onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura.
No enunciado, foi dado $ V = 2\pi r^2 h $, mas isso parece ser um erro. Vamos seguir a fórmula padrão $ V = \pi r^2 h $ para continuar.
Passo 3
Sabemos que o volume desejado é 1 litro, que corresponde a 1000 cm³. A altura $ h $ é de 5 cm. Vamos substituir esses valores na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, precisamos isolar $ r^2 $ para encontrar o raio. Vamos dividir ambos os lados da equação por $ \pi \times 5 $:
Passo 5
Para encontrar $ r $, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos o raio, vamos calcular a superfície do cilindro. A fórmula da superfície $ S $ de um cilindro é:
Aqui, o primeiro termo $ 2\pi r h $ representa a área lateral, e o segundo termo $ 2\pi r^2 $ representa as duas bases.
Passo 7
Substituindo $ r \approx 7,98 $ cm e $ h = 5 $ cm na fórmula:
Resposta
O raio do cilindro deve ser aproximadamente $ r = 7,98 $ cm e a superfície desse cilindro é aproximadamente $ 651,55 $ cm².