Ache o conjunto solução do sistema e determine a posição relativa entre eles.
l2 x+y+z=2 4 x+2 y+2 z=-2 x+y+2=0

Passo 1

Temos o sistema de três equações lineares em
Geometricamente, cada equação define um plano em (\mathbb{R}^3]. Queremos achar o conjunto-solução (interseção dos três planos) e descrever a posição relativa entre eles (paralelismo, interseção em reta, etc).

Passo 2

Comparemos as duas primeiras equações. Duplicando a primeira, obtemos
4x+2y+2z=4
e a segunda é
4x+2y+2z=-2
Os coeficientes de x,y,z são iguais em ambas, mas os termos independentes são diferentes. Isso mostra que os planos correspondentes são paralelos e distintos, não tendo nenhum ponto em comum.

Passo 3

Como já não existe nenhum ponto na interseção dos dois primeiros planos, o sistema completo não admite solução. Logo, o conjunto-solução é o conjunto vazio:
emptyset

Passo 4

Para descrever a posição relativa:
– O plano P1colon2x+y+z=2 e o plano P2colon4x+2y+2z=-2 têm o mesmo vetor normal (2,1,1), mas termos independentes diferentes, logo são paralelos e distintos.
– O terceiro plano P3colon x+y+2=0 corta cada um deles em uma reta. Substituindo y=-x-2 em P1 vem
z =4 - x,
então
P1cap P3=(x,,-x-2,,4-x)mid xinR
Em P2cap P3 obtemos
z=1-x,
logo
P2cap P3=(x,,-x-2,,1-x)mid xinR
Ambas as retas têm vetor direção (1,-1,-1), são paralelas entre si e estão contidas em P3.

Resposta

O conjunto-solução é emptyset.
Os planos P1 e P2 são paralelos e distintos, e P3 corta cada um deles em retas paralelas, de modo que não há ponto comum aos três.

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