Determine todos os pontos de interseção dos planos:
Pi1: 2 x-y+2 z=0 e Pi2: 4 x-2 y-z=1

Passo 1

O enunciado pede a interseção das retas definidas pelos dois planos
Pi1:2x - y + 2z = 0 e
Pi2:4x - 2y - z = 1.
O conteúdo aqui é a interseção de dois planos em R^3, que geralmente é uma reta. Para encontrá-la, basta resolver o sistema de duas equações lineares em três incógnitas e parametrizar a solução.

Passo 2

Escrevemos as duas equações:
2x - y + 2z = 0, 4x - 2y - z = 1
Multiplicamos a primeira por 2 para eliminar x e y combinando com a segunda:
2!times!(2x - y + 2z)=4x -2y +4z=0
Agora subtraímos a segunda equação:
(4x -2y +4z) - (4x -2y - z)=0 - 1 ;Longrightarrow;5z = -1 ;Longrightarrow;z = -tfrac15

Passo 3

Substituímos z=-tfrac15 na primeira equação:
2x - y + 2l(-tfrac15r)=0 ;Longrightarrow; 2x - y = tfrac25 ;Longrightarrow; y = 2x - tfrac25
Como ainda falta uma incógnita, tomamos x como parâmetro livre: seja x = tinR.

Resposta

A interseção Pi1capPi2 é a reta parametrizada por
x = t, y = 2t - tfrac25, z = -tfrac15, tinR
Em forma vetorial:
(x,y,z) = l(0,-tfrac25,-tfrac15r) + t,(1,2,0), tinR

Exercícios relacionados