Ache o conjunto solução do sistema e determine a posição relativa entre eles.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto solução do sistema
x+2y+3z=1, x+2y+z=2, -2x-4y+2z=-6,
e a posição relativa entre os três planos correspondentes. O conteúdo é resolução de sistemas lineares e interpretação geométrica (planos em R^3). Vamos usar eliminação de Gauss para achar a solução geral e depois comparar as equações para ver se são independentes ou se alguma é combinação das outras.
Passo 2
Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos x e y:
Como ainda temos duas incógnitas e uma equação, introduzimos o parâmetro t para y:
y = t, x = tfrac52 -2t, z = -tfrac12,
com tinR. Logo o conjunto solução é a reta
l(x,y,z)=l(tfrac52-2t,;t,;-tfrac12r)mid tinRr
Passo 5
Verificamos que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras:
2,(x+2y+3z)-4,(x+2y+z) =-2x-4y+2z,
com 2cdot1-4cdot2=-6 no termo constante. Portanto não há restrição nova. Geometricamente, cada par de planos intersecta numa reta e todos os três planos se cortam exatamente ao longo dessa mesma reta.
Resposta
O conjunto solução é
l(x,y,z)=l(tfrac52-2t,;t,;-tfrac12r)mid tinRr,
e os três planos intersectam-se simultaneamente ao longo desta reta.