Ache o conjunto solução do sistema e determine a posição relativa entre eles.
l3 x+y+5 z=1 2 x+y+2 z=-2 2 x-3 y+z=0

Passo 1

O enunciado pede o conjunto– solu\c{c}~ao de um sistema linear de tr^es equa\c{c}~oes e tr^es inc’ognitas
3x + y + 5z = 1, 2x + y + 2z = -2, 2x - 3y + z = 0
e quer saber a posi\c{c}~ao relativa entre os tr^es planos que definem essas equa\c{c}~oes. Vamos usar elimina\c{c}~ao de Gauss para resolver.

Passo 2

Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar y:
(3x + y + 5z) - (2x + y + 2z) = 1 - (-2)
x + 3z = 3
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x = 3 - 3z

Passo 3

Substituímos x=3-3z na segunda equação para achar y:
2(3-3z) + y + 2z = -2
6 - 6z + y + 2z = -2
y - 4z = -8
Portanto
y = 4z - 8

Passo 4

Agora inserimos x=3-3z e y=4z-8 na terceira equação:
2(3-3z) ;-;3(4z-8) ;+; z = 0
6 - 6z - 12z +24 + z = 0
30 -17z = 0
z = 3017

Passo 5

Feitas as contas, voltamos para achar x e y:
x = 3 - 3cdot3017 = 51 - 9017 = -3917,
y = 4cdot3017 - 8 = 120 - 13617 = -1617

Resposta

O sistema tem solução única
l(x,y,zr) = l(-tfrac3917,, -tfrac1617,, tfrac3017r)
Isto significa que os três planos se intersectam em exatamente um ponto (posição relativa: interseção pontual).

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