Ache a equação da esfera S que passa pelos pontos A=(3,5,1), B=(5,1,-1), C=(1,-1,3) e D=(7,3,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera S que passa pelos quatro pontos
A=(3,5,1), B=(5,1,-1), C=(1,-1,3), D=(7,3,1)
O conteúdo aqui é a determinação do centro (a,b,c) e do raio r de uma esfera em R^3. Para isso, vamos usar a forma geral
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2
e montar um sistema linear para a,b,c eliminando r^2.

Passo 2

Escrevendo a equação para cada ponto e subtraindo a equação em A das demais, eliminamos r^2. Dos pontos B, C e D obtemos, respectivamente, os três sistemas lineares:
(5-a)^2+(1-b)^2+(-1-c)^2 = r^2, (3-a)^2+(5-b)^2+(1-c)^2 = r^2,
(1-a)^2+(-1-b)^2+(3-c)^2 = r^2, (3-a)^2+(5-b)^2+(1-c)^2 = r^2,
(7-a)^2+(3-b)^2+(1-c)^2 = r^2, (3-a)^2+(5-b)^2+(1-c)^2 = r^2
Fazendo as subtrações e simplificando, chegamos ao sistema linear
-a + 2b + c = 2, a + 3b - c = 6, 2a - b = 6

Passo 3

Resolvendo
2a - b = 6
b = 2a - 6
Substituindo em -a +2b + c = 2 obtemos
-a +2(2a-6) + c = 2 Longrightarrow c = 14 - 3a
Substituindo em a +3b -c = 6 obtemos
a +3(2a-6) - c = 6 Longrightarrow c = 7a - 24
Igualando 14 - 3a = 7a - 24 resulta
10a = 38 Longrightarrow a = 195, b = 85, c = 135

Passo 4

Para encontrar r^2, usemos o ponto A:
r^2 = (3 - tfrac195)^2 ;+;(5 - tfrac85)^2;+;(1 - tfrac135)^2 = 1625 + 28925 + 6425 = 36925

Passo 5

Portanto, a esfera S tem centro
l(tfrac195,,tfrac85,,tfrac135r)
e raio r = raiz3695, e sua equação é
l(x - 195r)^2 + l(y - 85r)^2 + l(z - 135r)^2 = 36925

Resposta

boxed l(x - 195r)^2 + l(y - 85r)^2 + l(z - 135r)^2 = 36925

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