Considere a reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor e a reta que passa pelos pontos e . Mostre que e são retas paralelas e obtenha as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano que as contém.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em :
– A reta passa por e tem vetor diretor .
– A reta passa por e por .
O objetivo é mostrar que e são paralelas e, em seguida, obter as equações paramétricas e a forma cartesiana do plano que contém ambas.
Passo 2
Determinar o vetor diretor de subtraindo de :
Repare que , logo é múltiplo escalar de . Concluímos que as retas e têm direções paralelas:
Passo 3
Duas retas paralelas determinam um plano. Para construir esse plano podemos usar como geradores dois vetores que pertençam a ele:
o vetor diretor de ,
o vetor que liga um ponto de a um ponto de , por exemplo .
Calculemos
AB = (6-1,;1-4,;0-2) = (5,-3,-2)
Então o plano P contém o ponto A e é gerado pelos vetores vec u e AB.
Passo 4
Escrevemos a equação paramétrica do plano P usando parâmetros alpha e beta:
Para (alpha,beta)inR^2, (x,y,z) = A + alpha,vec u + beta,AB,
isto é
x = 1 + alpha + 5beta, y = 4 + alpha - 3beta, z = 2 + 2alpha - 2beta
Passo 5
Para achar a forma cartesiana, calculamos a normal vec n do plano como produto vetorial:
vec n = vec u times AB = i & j & k 1 & 1 & 2 5 & -3 & -2 = (4,,12,,-8)
Podemos simplificar vec n para (1,3,-2). A equação cartesiana é