Considere a reta r que passa pelo ponto A=(1,4,2) e é paralela ao vetor u=(1,1,2) e a reta s que passa pelos pontos B=(6,1,0) e C=(4,-1,-4). Mostre que r e s são retas paralelas e obtenha as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano que as contém.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
– A reta r passa por A=(1,4,2) e tem vetor diretor vec u=(1,1,2).
– A reta s passa por B=(6,1,0) e por C=(4,-1,-4).
O objetivo é mostrar que r e s são paralelas e, em seguida, obter as equações paramétricas e a forma cartesiana do plano que contém ambas.

Passo 2

Determinar o vetor diretor de s subtraindo B de C:
vec v = C - B = (4-6,,-1-1,,-4-0) = (-2,-2,-4)
Repare que vec v = -2,(1,1,2) = -2,vec u, logo vec v é múltiplo escalar de vec u. Concluímos que as retas r e s têm direções paralelas:
vec v paral<=l vec u Longrightarrow rparal<=l s

Passo 3

Duas retas paralelas determinam um plano. Para construir esse plano podemos usar como geradores dois vetores que pertençam a ele:
  1. o vetor diretor vec u de r,
  2. o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s, por exemplo AB = B - A.
    Calculemos
AB = (6-1,;1-4,;0-2) = (5,-3,-2)
Então o plano P contém o ponto A e é gerado pelos vetores vec u e AB.

Passo 4

Escrevemos a equação paramétrica do plano P usando parâmetros alpha e beta:
Para (alpha,beta)inR^2, (x,y,z) = A + alpha,vec u + beta,AB,
isto é
x = 1 + alpha + 5beta, y = 4 + alpha - 3beta, z = 2 + 2alpha - 2beta

Passo 5

Para achar a forma cartesiana, calculamos a normal vec n do plano como produto vetorial:
vec n = vec u times AB = i & j & k 1 & 1 & 2 5 & -3 & -2 = (4,,12,,-8)
Podemos simplificar vec n para (1,3,-2). A equação cartesiana é
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow (1,3,-2)!cdot!(x-1,,y-4,,z-2)=0,
que desenvolve em
(x-1)+3(y-4)-2(z-2)=0 Longrightarrow x+3y-2z=9

Resposta

As retas r e s são paralelas.
A equação paramétrica do plano que as contém é
x = 1 + alpha + 5beta, y = 4 + alpha - 3beta, z = 2 + 2alpha - 2beta,
e sua equação cartesiana é
x + 3y - 2z = 9

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