Ache o conjunto-solução dos sistemas lineares abaixo e classifique-os com respeito à existência e número de soluções:
l3 y+2 z+2 w+3 v=0 -x+2 y+7 w+3 v=0 2 x-y+2 z+v=0 x+y+2 z-7 w+v=0 6 y+4 z+2 w-v=0

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo em cinco incógnitas :
Como é um sistema linear homogêneo, sabemos que pelo menos a solução trivial existe. Para achar todas as soluções e determinar se há outras além da trivial, vamos usar eliminação de Gauss e verificar o posto da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes (sem coluna de termos independentes, pois é homogênea):
A= 0 & 3 & 2 & 2 & 3 -1& 2 & 0 & 7 & 3 2 & -1& 2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -7& 1 0 & 6 & 4 & 2 & -1
Para começar, trocamos a linha 1 pela linha 4, de modo a ter pivô na primeira coluna:
1 & 1 & 2 & -7 & 1 -1& 2 & 0 & 7 & 3 2 & -1& 2 & 0 & 1 0 & 3 & 2 & 2 & 3 0 & 6 & 4 & 2 & -1

Passo 3

Eliminamos a primeira coluna abaixo do pivô (linha 1):
  • L2>=ts L2+L1
  • L3>=ts L3-2L1
    As outras linhas mantêm o zero na coluna 1. Obtém-se:
1 & 1 & 2 & -7 & 1 0 & 3 & 2 & 0 & 4 0 & -3& 2 & 14 & -1 0 & 3 & 2 & 2 & 3 0 & 6 & 4 & 2 & -1

Passo 4

Usamos a linha 2 como pivô na coluna 2 e eliminamos abaixo:
  • L3>=ts L3+L2
  • L4>=ts L4-L2
  • L5>=ts L5-2L2
    Fica
1 & 1 & 2 & -7 & 1 0 & 3 & 2 & 0 & 4 0 & 0 & 4 & 14 & 3 0 & 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 2 & -9

Passo 5

Continuamos a eliminação nas colunas 3 e 4:
  • A linha 3 já é pivô em coluna 3.
  • Subtraímos L5>=ts L5-L4 para limpar a coluna 4 em L5.
    O resultado é
1 & 1 & 2 & -7 & 1 0 & 3 & 2 & 0 & 4 0 & 0 & 4 & 14 & 3 0 & 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & -8
Da última linha vem -8,v=0, logo ,v=0. Temos pivô em todas as colunas, ou seja, posto =5.

Passo 6

Normalizando cada linha-pivô e fazendo substituição regressiva, obtemos
v=0, w-tfrac12v=0implies w=0, z+tfrac72w+tfrac34v=0implies z=0,
y+tfrac23z+tfrac43v=0implies y=0, x+y+2z-7w+v=0implies x=0
Não há variáveis livres e a única solução é a trivial.

Resposta

O sistema é homogêneo, tem posto máximo (), logo admite apenas a solução trivial.
Conjunto-solução: .
Classificação: consistente determinado (única solução).

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