Ache o conjunto-solução dos sistemas lineares abaixo e classifique-os com respeito à existência e número de soluções:
lx+2 y+z=0 -x+4 y+3 z+2 w=0 3 y+2 z+w=0 2 x+y-w=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x+2y+z=0, -x+4y+3z+2w=0, 3y+2z+w=0, 2x+y-w=0,
isto é, encontrar o conjunto-solução em R^4 e, em seguida, classificar o sistema quanto à existência e ao número de soluções. Para isso usaremos eliminação de Gauss para escalonar a matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos R2 R2+R1 e R4 R4-2R1:
1 & 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 4 & 3 & 2 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & 0 2 & 1 & 0 & -1 & 0 ;xrightarrowR2+R1,;R4-2R1; 1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 6 & 4 & 2 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & 0 0 & -3 & -2 & -1 & 0

Passo 3

Usamos o pivô 6 em linha 2, coluna 2 para eliminar os coeficientes nas demais linhas:
R3 R3-tfrac36R2, R4 R4+tfrac36R2
Isso leva a
1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 6 & 4 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Como restaram apenas duas linhas não nulas, o posto da matriz é 2. Há 4 incógnitas ( x,y,z,w), logo há 4-2=2 variáveis livres. Escolhemos
z e w
como parâmetros livres.

Passo 5

Das duas equações não nulas obtemos
x+2y+z=0, 6y+4z+2w=0
Da segunda vem
y=-4z+2w6=-2z+w3,
e da primeira
x=-2y-z =;-!2l(-2z+w3r)-z =z+2w3
Portanto o conjunto-solução é
l(x,y,z,w)inR^4 mid x=tfracz+2w3,;y=-tfrac2z+w3,;z,winRr

Passo 6

Como há variáveis livres, o sistema é compatível indeterminado, isto é, tem infinitas soluções (família linear de dimensão 2).

Resposta

O conjunto-solução é
l(x,y,z,w)inR^4 mid x=tfracz+2w3,;y=-tfrac2z+w3,;z,winRr,
e o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

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