As regiões do
são formadas por pontos
que satisfazem condições específicas descritas por equações envolvendo suas coordenadas. Associe a descrição da região à sua respectiva equação.
REGIÕES:
(a) ( ) A região entre o plano
e o plano perpendicular ao eixo
em
.
(b) ( ) A região formada pelos pontos cuja distância à origem é pelo menos 1 e no máximo 2.
(c) ( ) A região sobre o plano
e abaixo dele, formada pelos pontos cuja distância à origem é pelo menos 1 e no máximo 2 .
(d) ( ) A fatia do espaço constuída pelos pontos entre os planos
e
e sobre eles.
(e) ( ) O semi-espaço formado pelos pontos sobre o plano
e abaixo dele.
(f) ( ) O interior da esfera de raio 5 e centro (
).
(g) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro do cilindro circular com eixo no eixo
e raio 3.
(h) ( ) Plano paralelo ao plano
localizado quatro unidades no sentido contrário ao do eixo
.
(i) ( ) O semi-espaço constituído por todos os pontos com abscissa maior que 3.
(j) ( ) A fatia do espaço constituída por pontos sobre ou entre os planos com abscissa 0 e 6.
(k) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro da esfera de raio
e centro (
). EQUAÇÕES
(1)
(7)
(2)
e
(8)
(3)
(9)
(4)
(10)
(5)
(11)
(6)
(11)
(b) ( ) A região formada pelos pontos cuja distância à origem é pelo menos 1 e no máximo 2.
(c) ( ) A região sobre o plano
(d) ( ) A fatia do espaço constuída pelos pontos entre os planos
(e) ( ) O semi-espaço formado pelos pontos sobre o plano
(f) ( ) O interior da esfera de raio 5 e centro (
(g) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro do cilindro circular com eixo no eixo
(h) ( ) Plano paralelo ao plano
(i) ( ) O semi-espaço constituído por todos os pontos com abscissa maior que 3.
(j) ( ) A fatia do espaço constituída por pontos sobre ou entre os planos com abscissa 0 e 6.
(k) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro da esfera de raio
(1)
(7)
(2)
(8)
(3)
(9)
(4)
(10)
(5)
(11)
(6)
(11)
Passo 1
Temos onze descrições de regiões em
(letras de (a) a (k)) e onze expressões (números de (1) a (11)). O objetivo é associar cada descrição à sua equação. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço: equações de planos, semiespaços, fatias (regiões entre planos), esferas, cascas esféricas e cilindros.
Passo 2
Identificamos primeiro semiespaços, fatias em torno de planos e planos paralelos:
- A região (e) “semi-espaço sobre ou abaixo do plano
” é dada por , que é a equação (1). - A região (i) “pontos com abscissa maior que 3” é
, equação (11). - A região (j) “pontos sobre ou entre os planos com abscissa 0 e 6” é
, equação (10). - A região (d) “fatia entre os planos
e , sobre eles” é , equação (6). - A região (a) “entre o plano
( ) e o plano ” é , equação (5). - A região (h) “plano paralelo a
quatro unidades no sentido contrário ao de ” é , equação (7).
Passo 3
Em seguida, cascas esféricas e esferas:
- A região (b) “distância à origem pelo menos 1 e no máximo 2” é
, equação (3). - A região (c) “distância à origem entre 1 e 2, mas somente sobre o plano
e abaixo dele” é com , equação (2). - A região (f) “interior da esfera de raio 5 e centro
” é , equação (4). - A região (k) “pontos sobre ou dentro da esfera de raio
e centro na origem” é , equação (9).
Passo 4
Finalmente, cilindro:
- A região (g) “pontos sobre ou dentro do cilindro de eixo no eixo
e raio 3” satisfaz , equação (8).
Resposta
(a) 5
(b) 3
(c) 2
(d) 6
(e) 1
(f) 4
(g) 8
(h) 7
(i) 11
(j) 10
(k) 9
(b) 3
(c) 2
(d) 6
(e) 1
(f) 4
(g) 8
(h) 7
(i) 11
(j) 10
(k) 9