As regiões do R^3 são formadas por pontos (x, y, z) que satisfazem condições específicas descritas por equações envolvendo suas coordenadas. Associe a descrição da região à sua respectiva equação.

REGIÕES:

(a) ( ) A região entre o plano y z e o plano perpendicular ao eixo x em (5,0,0).
(b) ( ) A região formada pelos pontos cuja distância à origem é pelo menos 1 e no máximo 2.
(c) ( ) A região sobre o plano x y e abaixo dele, formada pelos pontos cuja distância à origem é pelo menos 1 e no máximo 2 .
(d) ( ) A fatia do espaço constuída pelos pontos entre os planos x y e z=2 e sobre eles.
(e) ( ) O semi-espaço formado pelos pontos sobre o plano x y e abaixo dele.
(f) ( ) O interior da esfera de raio 5 e centro ( 1,3,-1 ).
(g) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro do cilindro circular com eixo no eixo y e raio 3.
(h) ( ) Plano paralelo ao plano x z localizado quatro unidades no sentido contrário ao do eixo y.
(i) ( ) O semi-espaço constituído por todos os pontos com abscissa maior que 3.
(j) ( ) A fatia do espaço constituída por pontos sobre ou entre os planos com abscissa 0 e 6.
(k) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro da esfera de raio raiz3 e centro ( 0,0,0 ). EQUAÇÕES
(1) z <= 0
(7) y=-4
(2) 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4 e z <= 0
(8) x^2+z^2 <= 9
(3) 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4
(9) x^2+y^2+z^2 <= 3
(4) (x-1)^3+(y-3)^2+(z+1)^2<25
(10) 0 <= x <= 6
(5) 0<x<5
(11) x>3
(6) 0 <= z <= 2
(11) x>3

Passo 1

Temos onze descrições de regiões em R^3 (letras de (a) a (k)) e onze expressões (números de (1) a (11)). O objetivo é associar cada descrição à sua equação. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço: equações de planos, semiespaços, fatias (regiões entre planos), esferas, cascas esféricas e cilindros.

Passo 2

Identificamos primeiro semiespaços, fatias em torno de planos e planos paralelos:
  • A região (e) “semi-espaço sobre ou abaixo do plano xy” é dada por z<=0, que é a equação (1).
  • A região (i) “pontos com abscissa maior que 3” é x>3, equação (11).
  • A região (j) “pontos sobre ou entre os planos com abscissa 0 e 6” é 0<= x<=6, equação (10).
  • A região (d) “fatia entre os planos xy e z=2, sobre eles” é 0<= z<=2, equação (6).
  • A região (a) “entre o plano yz ( x=0) e o plano x=5” é 0<x<5, equação (5).
  • A região (h) “plano paralelo a xz quatro unidades no sentido contrário ao de y” é y=-4, equação (7).

Passo 3

Em seguida, cascas esféricas e esferas:
  • A região (b) “distância à origem pelo menos 1 e no máximo 2” é 1<= x^2+y^2+z^2<=4, equação (3).
  • A região (c) “distância à origem entre 1 e 2, mas somente sobre o plano xy e abaixo dele” é 1<= x^2+y^2+z^2<=4 com z<=0, equação (2).
  • A região (f) “interior da esfera de raio 5 e centro (1,3,-1)” é (x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2<25, equação (4).
  • A região (k) “pontos sobre ou dentro da esfera de raio raiz3 e centro na origem” é x^2+y^2+z^2<=3, equação (9).

Passo 4

Finalmente, cilindro:
  • A região (g) “pontos sobre ou dentro do cilindro de eixo no eixo y e raio 3” satisfaz x^2+z^2<=9, equação (8).

Resposta

(a) 5
(b) 3
(c) 2
(d) 6
(e) 1
(f) 4
(g) 8
(h) 7
(i) 11
(j) 10
(k) 9

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