Ache as coordenadas x e y dos pontos de máximo e mínimo de f nos intervalos dados:
f(x)=x-ln x, [1 / 2,2]

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=x-ln x
no intervalo fechado l[tfrac12,2r].
Para achar extremos em intervalo fechado de uma função diferenciável, usamos o fato de que eles ocorrem em pontos críticos (onde f'(x)=0) ou nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas para identificar pontos críticos e classificar o sinal de curvatura:
f'(x)=1-1x, f''(x)=1x^2
Resolvendo f'(x)=0
1-1x=0implies x=1

Passo 3

Como f''(1)=1>0, em x=1 a função é localmente convexa, caracterizando um mínimo local.
Os outros candidatos a extremos são os pontos de fronteira x=tfrac12 e x=2.

Passo 4

Avaliamo-os f nesses três pontos:
fl(tfrac12r)=tfrac12-ln!l(tfrac12r) =tfrac12+ln 2,
f(1)=1-ln 1=1,
f(2)=2-ln 2

Passo 5

Numericamente, tfrac12+ln2approx1,193 e 2-ln2approx1,307.
Portanto o máximo em l[tfrac12,2r] ocorre em x=2 e o mínimo em x=1.

Resposta

Ponto de mínimo: l(1,1r)
Ponto de máximo: l(2,2-ln2r)

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