Ache d yd x diferenciando implicitamente
y^2 sen(x)+x^2 sen(y)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar y^2 cdot sin(x) + x^2 cdot sin(y) = -2 usando diferenciação implícita na equação:
Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente da parte de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e lembrar que é uma função de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v' . Começando com o primeiro termo: ddx[y^2 cdot sin(x)] = ddx[y^2] cdot sin(x) + y^2 cdot ddx[sin(x)] .
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para diferenciar produtos, usamos a regra do produto, que diz:
Aplicando isso:
Agora, vamos diferenciar cada parte.

Passo 3

Vamos diferenciar ddx[y^2] = 2y cdot dydx em relação a ddx[sin(x)] = cos(x) . Como ddx[y^2 cdot sin(x)] = 2y cdot dydx cdot sin(x) + y^2 cdot cos(x) é uma função de , usamos a regra da cadeia:
E a derivada de é :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o segundo termo da equação original: ddx[x^2 cdot sin(y)] = ddx[x^2] cdot sin(y) + x^2 cdot ddx[sin(y)] .
Novamente, aplicamos a regra do produto:
ddx[x^2] = 2x
A derivada de ddx[sin(y)] = cos(y) cdot dydx é ddx[x^2 cdot sin(y)] = 2x cdot sin(y) + x^2 cdot cos(y) cdot dydx :
Para , usamos a regra da cadeia novamente, já que depende de :
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos à derivada do lado direito da equação original. A derivada de uma constante como 2y cdot dydx cdot sin(x) + y^2 cdot cos(x) + 2x cdot sin(y) + x^2 cdot cos(y) cdot dydx = 0 é zero:

Passo 6

Nosso objetivo é isolar (2y cdot sin(x) + x^2 cdot cos(y)) cdot dydx = -(y^2 cdot cos(x) + 2x cdot sin(y)) . Vamos agrupar os termos que contêm dydx = -(y^2 cdot cos(x) + 2x cdot sin(y))2y cdot sin(x) + x^2 cdot cos(y) :
Agora, para resolver para , basta dividir ambos os lados pelo coeficiente que está multiplicando :

Resposta

dydx = -(y^2 cdot cos(x) + 2x cdot sin(y))2y cdot sin(x) + x^2 cdot cos(y)

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