Considere
a curva parametrizada
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
-
-
-
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma curva
parametrizada por , onde
varia de 1 a 2. Queremos calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de formulários diferenciais exatos. Precisamos verificar se a expressão que estamos integrando é exata, ou seja, se existe uma função potencial
tal que:
Se for exata, a integral será simplesmente a diferença dos valores de
nos pontos finais da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o formulário diferencial é exato. Para isso, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, o formulário diferencial é exato.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Onde
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então:
Onde
é uma constante que podemos desconsiderar na integral.
Passo 5
Assim, a função potencial é:
Passo 6
A integral ao longo da curva
será a diferença dos valores de
nos extremos da curva. Vamos calcular
nos pontos
e
:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
A integral vale
.