Considere C a curva parametrizada r(t)=(2 t, sen(pi t)), 1 <= t <= 2. O valor da integral integralC(e^x+ln (1+y^2)) d x+(1+2 x y1+y^2) d y é:
Escolha uma opção:
  • 2-e^pi
    e^2(e^2-1)
  • e^4-1
    e^4-e
  • -e^4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma curva integralC (e^x + ln(1 + y^2)) dx + (1 + 2xy1 + y^2) dy parametrizada por , onde df = (e^x + ln(1 + y^2)) dx + (1 + 2xy1 + y^2) dy varia de 1 a 2. Queremos calcular a integral de linha:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de formulários diferenciais exatos. Precisamos verificar se a expressão que estamos integrando é exata, ou seja, se existe uma função potencial tal que:
Se for exata, a integral será simplesmente a diferença dos valores de nos pontos finais da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o formulário diferencial é exato. Para isso, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
P = e^x + ln(1 + y^2) Rightarrow partial Ppartial y = 2y1 + y^2
Q = 1 + 2xy1 + y^2 Rightarrow partial Qpartial x = 2y1 + y^2
Como , o formulário diferencial é exato.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y) = integral (e^x + ln(1 + y^2)) dx = e^x + x ln(1 + y^2) + g(y) . Integramos em relação a :
Onde é uma função de que precisamos determinar.

Passo 4

Derivamos partial fpartial y = 2xy1 + y^2 + g'(y) = 1 + 2xy1 + y^2 em relação a g(y) = y + C e igualamos a :
Isso implica que , então:
Onde é uma constante que podemos desconsiderar na integral.

Passo 5

Assim, a função potencial é:
f(x, y) = e^x + x ln(1 + y^2) + y

Passo 6

A integral ao longo da curva x = 2 times 2 = 4, y = sen(2pi) = 0 será a diferença dos valores de f(4, 0) = e^4 + 4 ln(1 + 0) + 0 = e^4 nos extremos da curva. Vamos calcular x = 2 times 1 = 2, y = sen(pi) = 0 nos pontos f(2, 0) = e^2 + 2 ln(1 + 0) + 0 = e^2 e :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A integral vale .

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