Escreva a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
seguinte no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por
no ponto
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando derivadas para achar as inclinações dessas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as retas tangente e normal. A reta tangente toca a curva em um único ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Já a reta normal é perpendicular à reta tangente naquele mesmo ponto. Para achar a inclinação da tangente, precisamos calcular a derivada implícita da equação da curva.
Passo 3
Vamos começar derivando a equação da curva
em relação a
. Como a equação está em termos de
e
, precisamos usar a regra da derivada implícita, lembrando que
também é uma função de
:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é (também pela regra da cadeia). - A derivada de uma constante, como 1, é 0.
Então, substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
, que representa a inclinação da reta tangente:
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 7
Com a inclinação da tangente (
) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como
:
Passo 9
Usando novamente a fórmula da equação da reta com
e o ponto
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
e a equação da reta normal é
.