Escreva a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva x^2+2 y-y^2=1 seguinte no ponto (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada por no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando derivadas para achar as inclinações dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as retas tangente e normal. A reta tangente toca a curva em um único ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Já a reta normal é perpendicular à reta tangente naquele mesmo ponto. Para achar a inclinação da tangente, precisamos calcular a derivada implícita da equação da curva.

Passo 3

Vamos começar derivando a equação da curva ddx(x^2) + ddx(2y) - ddx(y^2) = ddx(1) em relação a . Como a equação está em termos de e , precisamos usar a regra da derivada implícita, lembrando que também é uma função de :

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo:
  • A derivada de 2x + 2 dydx - 2y dydx = 0 em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é (também pela regra da cadeia).
  • A derivada de uma constante, como 1, é 0.
Então, substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2x + 2 dydx - 2y dydx = 0 , que representa a inclinação da reta tangente:
2x = - dydx (2 - 2y)
Fatorando dydx = 2x2y - 2 :
dydx = xy - 1
Isolando :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dydx = 23 - 1 = 22 = 1 . Substituindo e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 7

Com a inclinação da tangente ( y - y1 = m (x - x1) ) e o ponto y - 3 = 1 (x - 2) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y = x + 1
Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como mnormal = -11 = -1 :

Passo 9

Usando novamente a fórmula da equação da reta com y - 3 = -1 (x - 2) e o ponto y - 3 = -x + 2 :
y = -x + 5
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é e a equação da reta normal é .

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