Ache d yd x
y^2+x y+e^x=xy

Passo 1

Temos a equação implícita y^2 + x y + e^x = xy. O conteúdo é derivada implícita e vamos precisar usar regra da cadeia, regra do produto e derivada de potência, sempre lembrando que y é função de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Na esquerda aplicamos:
x/y = x,y^-1 (regra da cadeia),
2y,y' + x,y' + y + e^x = 1y - xy^2y' (regra do produto) e

Na direita escrevemos e usamos produto e potência:

Isso gera a equação

Passo 3

Reunimos os termos que contêm y' no lado esquerdo e os demais no direito. Somando tfracxy^2y' em ambos os lados e subtraindo y+e^x do lado direito, obtemos:
2y,y' + x,y' + xy^2y' = 1y - y - e^x

Passo 4

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'l(2y + x + xy^2r) = 1y - y - e^x

Passo 5

Isolando y' dividindo pelo fator entre parênteses, chegamos a:
y' = 1y - y - e^x2y + x + xy^2

Resposta

y' = 1y - y - e^x2y + x + xy^2

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