Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(b) f(x)=x e^-2 x

Passo 1

Neste exercício vamos estudar a função f(x)=x e^-2x. O conteúdo envolve derivadas para achar crescimento/decrescimento, segunda derivada para concavidade e inflexão, e uso dessas informações para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada f'(x) usando a regra do produto. Seja u(x)=x e v(x)=e^-2x, então u'=1 e v'=-2e^-2x. Logo:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1cdot e^-2x+x(-2e^-2x)=e^-2x(1-2x)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
e^-2x(1-2x)=0Longrightarrow1-2x=0Rightarrow x=tfrac12
Como e^-2x>0 sempre, o sinal de f' só depende de 1-2x. Testando:
  • Para x<1/2, 1-2x>0 f'(x)>0 (cresce).
  • Para x>1/2, 1-2x<0 f'(x)<0 (decresce).

Passo 4

Agora obtemos a segunda derivada f''(x). Partindo de f'(x)=e^-2x(1-2x) e aplicando a regra do produto de novo:
f''(x)=(-2e^-2x)(1-2x)+e^-2x(-2)=e^-2x(-2+4x-2)=4e^-2x(x-1)

Passo 5

Para achar o ponto de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
4e^-2x(x-1)=0Longrightarrow x-1=0Rightarrow x=1
Como e^-2x>0, o sinal de f'' depende de x-1:
  • Para x<1, x-1<0 f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>1, x-1>0 f''(x)>0 (côncavo para cima).

Passo 6

Para esboçar o gráfico reunimos todas as informações:
• Intercepto em x=0: f(0)=0.
• Comportamento em xto-infty: x e^-2xto-infty.
• Comportamento em xto+infty: x e^-2xto0^+ (assíntota horizontal y=0).
• Máximo local em x=1/2 com f(1/2)=tfrac12e^-1=1/(2e).
• Ponto de inflexão em x=1 com f(1)=e^-2.
Desenhamos o gráfico passando pela origem, subindo até o máximo em (1/2,1/(2e)), mudando de concavidade em (1,e^-2) e decrescendo assintoticamente ao eixo x.

Resposta

(1) Cresce em (-infty,,1/2) e decresce em (1/2,,+infty).
(2) É côncava para baixo em (-infty,1), côncava para cima em (1,,+infty), com ponto de inflexão em x=1 ( f(1)=e^-2).
(3) O gráfico passa por (0,0), tem máximo local em (1/2,1/(2e)), ponto de inflexão em (1,e^-2) e tende a -infty quando xto-infty e a 0^+ quando xto+infty.

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