Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(b)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(b)
Passo 1
Neste exercício vamos estudar a função
. O conteúdo envolve derivadas para achar crescimento/decrescimento, segunda derivada para concavidade e inflexão, e uso dessas informações para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada
usando a regra do produto. Seja
e
, então
e
. Logo:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Como
sempre, o sinal de
só depende de
. Testando:
- Para
, ⇒ (cresce). - Para
, ⇒ (decresce).
Passo 4
Agora obtemos a segunda derivada
. Partindo de
e aplicando a regra do produto de novo:
Passo 5
Para achar o ponto de inflexão, resolvemos
:
Como
, o sinal de
depende de
:
- Para
, ⇒ (côncavo para baixo). - Para
, ⇒ (côncavo para cima).
Passo 6
Para esboçar o gráfico reunimos todas as informações:
• Intercepto em :
.
• Comportamento em :
.
• Comportamento em :
(assíntota horizontal
).
• Máximo local em com
.
• Ponto de inflexão em com
.
Desenhamos o gráfico passando pela origem, subindo até o máximo em , mudando de concavidade em
e decrescendo assintoticamente ao eixo
.
• Intercepto em
• Comportamento em
• Comportamento em
• Máximo local em
• Ponto de inflexão em
Desenhamos o gráfico passando pela origem, subindo até o máximo em
Resposta
(1) Cresce em
e decresce em
.
(2) É côncava para baixo em , côncava para cima em
, com ponto de inflexão em
(
).
(3) O gráfico passa por , tem máximo local em
, ponto de inflexão em
e tende a
quando
e a
quando
.
(2) É côncava para baixo em
(3) O gráfico passa por