Ache d yd x
y(x)=x^cos xx-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y(x)=x^cos xx-1. O conteúdo principal envolve a regra do quociente e a diferenciação de uma função do tipo x^cos x, para a qual vamos usar logaritmo (log-diferenciação). A partir de agora, ficamos com u(x)=x^cos x e g(x)=x-1.

Passo 2

Para achar u'(x), aplicamos log-diferenciação. Primeiro escrevemos ln u = cos xln x. Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos:
u'u = -sin xln x + cos x cdot 1x
Então
u' = x^cos xl(-sin xln x + cos xxr)

Passo 3

A derivada de g(x)=x-1 é simples:
g'(x)=1

Passo 4

Agora usamos a regra do quociente:
y' = u',g - u,g'g^2 = u'(x-1) - ucdot1(x-1)^2

Passo 5

Substituindo u e u' no resultado, obtemos:
y' = x^cos xl(-sin xln x + tfraccos xxr)(x-1) - x^cos x(x-1)^2

Passo 6

Por fim, podemos fatorar x^cos x no numerador para uma forma mais enxuta:
y' = x^cos x(x-1)^2l[(x-1)l(-sin xln x + cos xxr) - 1r]

Resposta

y' = x^cos x(x-1)^2l[(x-1)l(-sin xln x + cos xxr) - 1r]

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