Calcule os limites:
(m) lim x infty(1-2x)^x

Passo 1

A questão pede para calcular o limite limxtoinftyl(1 - tfrac2xr)^x. O conteúdo aqui é limites que geram a constante e, e vamos usar a propriedade básica
l(1 + tfracaxr)^x to e^a (xtoinfty)

Passo 2

Para lidar com a potência na forma (1 - 2/x)^x, a gente costuma aplicar o logaritmo natural para transformar produto em soma. Seja
L = limxtoinftyl(1 - tfrac2xr)^x
Então
ln L = limxtoinfty x lnl(1 - tfrac2xr)

Passo 3

Agora usamos a expansão de série ou a definição de ln(1 + t) para tto 0:
ln(1 + t) = t - tfract^22 + o(t^2)
Aqui t = -2/x, então
lnl(1 - tfrac2xr) = -tfrac2x - tfrac12l(-tfrac2xr)^2 + ol(tfrac1x^2r) = -tfrac2x - tfrac2x^2 + ol(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x:
x lnl(1 - tfrac2xr) = -2 - tfrac2x + ol(tfrac1xr) to -2 (xtoinfty)
Logo
ln L = -2

Passo 4

Basta então reverter o logaritmo: como ln L = -2, temos
L = e^-2

Resposta

e^-2

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