(a) Ache a derivada das curvas parametrizadas a seguir.
  1. \alpha(t)=\left(t, t^{2}\right)
  2. \beta(t)=\left(\cos (t), e^{t}-1, t^{2}\right)
  3. \gamma(t)=\left(t^{3}, \sin (t)+1,1\right)
    onde t \in[-1,1].
    (b) Determine os vetores tangentes a cada uma dessas curvas quando t=1.
    (c) Alguma destas parametrizações não é regular?

Passo 1

O enunciado dá três curvas parametrizadas no intervalo [-1,1] e pede três coisas:
  • (a) achar a derivada de cada curva parametrizada (ou seja, o vetor derivada como função de t);
  • (b) determinar os vetores tangentes a cada curva no ponto t=1 (isto é, avaliar a derivada em t=1);
  • (c) dizer se alguma dessas parametrizações não é regular (ou seja, se existe t\in[-1,1] tal que o vetor derivada é o vetor nulo).
As curvas fornecidas são:
  1. \alpha(t)=\left(t, t^{2}\right).
  2. \beta(t)=\left(\cos (t), e^{t}-1, t^{2}\right).
  3. \gamma(t)=\left(t^{3}, \sin (t)+1,1\right).

Passo 2

O que significa derivar uma curva parametrizada?
Se uma curva é dada por um vetor função \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) (algumas curvas têm só duas componentes), a derivada \mathbf{r}'(t) é obtida derivando-se cada componente separadamente:
\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Esse vetor \mathbf{r}'(t) representa a velocidade da partícula que percorre a curva e aponta na direção da reta tangente; é por isso que chamamos \mathbf{r}'(t) de vetor tangente. Regras úteis de derivação que usaremos (lembrando cada uma em palavras simples):
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n t^{n-1} (por exemplo, \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t, \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}).
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
  • A derivada de uma constante é 0.
Com isso na mão, derivamos componente a componente.

Passo 3

Derivada da curva \alpha(t)=\left(t,t^{2}\right).
Derivando componente a componente:
  • primeira componente: \dfrac{d}{dt}(t)=1;
  • segunda componente: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
    Portanto,
\alpha'(t)=\left(1,2t\right).

Passo 4

Vetor tangente de \alpha em t=1.
Avalia-se \alpha'(t) em t=1:
\alpha'(1)=\left(1,2\cdot1\right)=\left(1,2\right).
Esse é o vetor que aponta na direção da tangente à curva \alpha no ponto correspondente a t=1.

Passo 5

Derivada da curva \beta(t)=\left(\cos t,\, e^{t}-1,\, t^{2}\right).
Derivando cada componente:
  • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t;
  • \dfrac{d}{dt}(e^{t}-1)=e^{t} (porque a derivada de -1 é 0);
  • \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
    Portanto,
\beta'(t)=\left(-\sin t,\, e^{t},\, 2t\right).

Passo 6

Vetor tangente de \beta em t=1.
Avalia-se \beta'(t) em t=1:
\beta'(1)=\left(-\sin 1,\, e^{1},\, 2\cdot1\right)=\left(-\sin 1,\, e,\, 2\right).
(Se alguém quiser uma aproximação numérica, \sin 1\approx0{,}8415 e e\approx2{,}7183, mas não é necessário aqui.)

Passo 7

Derivada da curva \gamma(t)=\left(t^{3},\,\sin t+1,\,1\right).
Derivando componente a componente:
  • \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2};
  • \dfrac{d}{dt}(\sin t+1)=\cos t (a derivada de 1 é 0);
  • \dfrac{d}{dt}(1)=0.
    Portanto,
\gamma'(t)=\left(3t^{2},\,\cos t,\,0\right).

Passo 8

Vetor tangente de \gamma em t=1.
Avalia-se \gamma'(t) em t=1:
\gamma'(1)=\left(3\cdot1^{2},\,\cos 1,\,0\right)=\left(3,\,\cos 1,\,0\right).

Passo 9

O que significa uma parametrização ser regular?
Uma parametrização \mathbf{r}(t) é regular em um intervalo se \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} para todo t no intervalo (ou seja, a velocidade nunca é o vetor nulo). Vamos verificar cada caso em [-1,1]:
  • Para \alpha'(t)=\left(1,2t\right) a primeira componente é 1 para todo t, nunca 0. Logo \alpha'(t) nunca é o vetor nulo em [-1,1].
  • Para \beta'(t)=\left(-\sin t,\,e^{t},\,2t\right) a segunda componente é e^{t}, e e^{t}>0 para todo t; portanto \beta'(t) nunca pode ser o vetor nulo em [-1,1].
  • Para \gamma'(t)=\left(3t^{2},\,\cos t,\,0\right) precisaria que simultaneamente 3t^{2}=0 e \cos t=0 para ser o vetor nulo. Mas 3t^{2}=0 implica t=0, e nesse ponto \cos 0=1\neq0. Não existe t\in[-1,1] que anule ambas as componentes simultaneamente. Logo \gamma'(t) também nunca é o vetor nulo em [-1,1].
Conclusão: todas as três parametrizações são regulares no intervalo dado.

Resposta

(a) 1. \alpha'(t)=\left(1,2t\right)
2. \beta'(t)=\left(-\sin t,\,e^{t},\,2t\right)
3. \gamma'(t)=\left(3t^{2},\,\cos t,\,0\right)
(b) \alpha'(1)=\left(1,2\right)
\beta'(1)=\left(-\sin 1,\,e,\,2\right)
\gamma'(1)=\left(3,\,\cos 1,\,0\right)
(c) Todas as parametrizações são regulares em [-1,1].

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