(a) Ache a derivada das curvas parametrizadas a seguir.
-
-
-
onde
.
(b) Determine os vetores tangentes a cada uma dessas curvas quando
.
(c) Alguma destas parametrizações não é regular?
onde
(b) Determine os vetores tangentes a cada uma dessas curvas quando
(c) Alguma destas parametrizações não é regular?
Passo 1
O enunciado dá três curvas parametrizadas no intervalo
e pede três coisas:
- (a) achar a derivada de cada curva parametrizada (ou seja, o vetor derivada como função de
); - (b) determinar os vetores tangentes a cada curva no ponto
(isto é, avaliar a derivada em ); - (c) dizer se alguma dessas parametrizações não é regular (ou seja, se existe
tal que o vetor derivada é o vetor nulo).
As curvas fornecidas são:
-
. -
. -
.
Passo 2
O que significa derivar uma curva parametrizada?
Se uma curva é dada por um vetor função (algumas curvas têm só duas componentes), a derivada
é obtida derivando-se cada componente separadamente:
Se uma curva é dada por um vetor função
Esse vetor
representa a velocidade da partícula que percorre a curva e aponta na direção da reta tangente; é por isso que chamamos
de vetor tangente. Regras úteis de derivação que usaremos (lembrando cada uma em palavras simples):
-
. -
(por exemplo, , ). -
. -
. -
. - A derivada de uma constante é
.
Com isso na mão, derivamos componente a componente.
Passo 3
Derivada da curva
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
- primeira componente:
; - segunda componente:
.
Portanto,
Passo 4
Vetor tangente de
em
.
Avalia-se em
:
Avalia-se
Esse é o vetor que aponta na direção da tangente à curva
no ponto correspondente a
.
Passo 5
Derivada da curva
.
Derivando cada componente:
Derivando cada componente:
-
; -
(porque a derivada de é ); -
.
Portanto,
Passo 6
Vetor tangente de
em
.
Avalia-se em
:
Avalia-se
(Se alguém quiser uma aproximação numérica,
e
, mas não é necessário aqui.)
Passo 7
Derivada da curva
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
-
; -
(a derivada de é ); -
.
Portanto,
Passo 8
Vetor tangente de
em
.
Avalia-se em
:
Avalia-se
Passo 9
O que significa uma parametrização ser regular?
Uma parametrização é regular em um intervalo se
para todo
no intervalo (ou seja, a velocidade nunca é o vetor nulo). Vamos verificar cada caso em
:
Uma parametrização
-
Para
a primeira componente é para todo , nunca . Logo nunca é o vetor nulo em . -
Para
a segunda componente é , e para todo ; portanto nunca pode ser o vetor nulo em . -
Para
precisaria que simultaneamente e para ser o vetor nulo. Mas implica , e nesse ponto . Não existe que anule ambas as componentes simultaneamente. Logo também nunca é o vetor nulo em .
Conclusão: todas as três parametrizações são regulares no intervalo dado.
Resposta
(a) 1.
2.
3.
2.
3.
(b)
(c) Todas as parametrizações são regulares em
.