Calcule o comprimento das curvas a seguir. Todas com
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
definida em
e pede o comprimento dessa curva. Dados fornecidos:
-
para . - Pedido: calcular o comprimento da curva
no intervalo .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma curva suave
escrita como
, o comprimento
é dado por
onde
é o vetor velocidade e
é a norma euclidiana desse vetor. A norma euclidiana de um vetor
é
Aqui cada derivada
é a taxa de variação da respectiva coordenada em relação a
.
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente (derivadas simples de polinômios):
Passo 4
Calcular a norma ao quadrado e simplificar:
Reconhecer que isso é um quadrado perfeito:
pois expandindo
obtém-se
. Como
em todo
, temos
Passo 5
Montar a integral do comprimento usando o resultado anterior:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (integração termo a termo de polinômios):
antiderivada de é
e de
é
. Logo
antiderivada de
Passo 7
Comentário rápido de colega: a simplificação aconteceu porque
é um quadrado perfeito, o que evita ter que integrar uma raiz quadrada complicada. Na prova, vale sempre checar se a expressão dentro da raiz é um quadrado perfeito — isso salva tempo e erro.