Calcule o comprimento das curvas a seguir. Todas com t \in[0,1].
\alpha(t)=\left(2 t, t^{2}, \frac{1}{3} t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \alpha(t) definida em t\in[0,1] e pede o comprimento dessa curva. Dados fornecidos:
  • \alpha(t)=\left(2t,\;t^{2},\;\dfrac{1}{3}t^{3}\right) para t\in[0,1].
  • Pedido: calcular o comprimento da curva \alpha no intervalo t\in[0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^{3} escrita como \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)), o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt,
onde \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é o vetor velocidade e \|\alpha'(t)\| é a norma euclidiana desse vetor. A norma euclidiana de um vetor v=(v_{1},v_{2},v_{3}) é
\|v\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
Aqui cada derivada x'(t),y'(t),z'(t) é a taxa de variação da respectiva coordenada em relação a t.

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente (derivadas simples de polinômios):
\alpha'(t)=\left(\frac{d}{dt}(2t),\;\frac{d}{dt}(t^{2}),\;\frac{d}{dt}\Big(\tfrac{1}{3}t^{3}\Big)\right)=\left(2,\;2t,\;t^{2}\right).

Passo 4

Calcular a norma ao quadrado e simplificar:
\|\alpha'(t)\|^{2}=2^{2}+(2t)^{2}+(t^{2})^{2}=4+4t^{2}+t^{4}.
Reconhecer que isso é um quadrado perfeito:
4+4t^{2}+t^{4}=(t^{2}+2)^{2},
pois expandindo (t^{2}+2)^{2} obtém-se t^{4}+4t^{2}+4. Como t^{2}+2>0 em todo t\in[0,1], temos
\|\alpha'(t)\|=t^{2}+2.

Passo 5

Montar a integral do comprimento usando o resultado anterior:
L=\int_{0}^{1}\|\alpha'(t)\|\,dt=\int_{0}^{1}(t^{2}+2)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (integração termo a termo de polinômios):
antiderivada de t^{2} é \dfrac{t^{3}}{3} e de 2 é 2t. Logo
\int_{0}^{1}(t^{2}+2)\,dt=\left[\dfrac{t^{3}}{3}+2t\right]_{0}^{1}=\left(\dfrac{1^{3}}{3}+2\cdot1\right)-\left(\dfrac{0^{3}}{3}+2\cdot0\right)=\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}.

Passo 7

Comentário rápido de colega: a simplificação aconteceu porque \|\alpha'(t)\|^{2} é um quadrado perfeito, o que evita ter que integrar uma raiz quadrada complicada. Na prova, vale sempre checar se a expressão dentro da raiz é um quadrado perfeito — isso salva tempo e erro.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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