Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a equação
. - Pedido: determinar o conjunto solução de
, isto é, todos os valores de (reais) que satisfazem essa equação.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
-
é a função piso (parte inteira inferior): para todo , é o maior inteiro menor ou igual a . - Logo,
é sempre um número inteiro. Se então .
Passo 2
Substituição natural: como
é inteiro, ponho
onde
e
. A equação do enunciado passa a ser uma equação em
:
Agora resolvo essa equação quadrática em
. Procuro fatorá-la: os números inteiros cujo produto é
e soma é
são
e
. Assim
Portanto as soluções inteiras para
são
Passo 3
Volto à variável
. Para cada valor de
encontrado, uso a relação
:
- Se
, então e portanto
- Se
, então e portanto
Esses dois conjuntos são os candidatos a soluções de
, pois para qualquer
nessas faixas a igualdade em
é satisfeita.
Passo 4
Verificação de pontos de borda e união dos intervalos (breve verificação, sem ainda escrever a resposta final):
-
pertence a e que satisfaz a equação — portanto está incluído. -
pertence a e que satisfaz a equação — portanto está incluído (note que não pertence a mas pertence a ). -
não pertence a (pois exclui ) e não resolve a equação, então não é solução.
Observando
.
Passo 5
Resumo didático do método (para usar na prova):
- Sempre que houver
isolado numa expressão algébrica, é muito conveniente substituir e resolver a equação em inteiros ( ). - Depois, para cada solução inteira
, traduzir de volta para usando . - Checar as bordas (valores exatamente inteiros) para ter certeza de inclusão/exclusão correta dos extremos.
Exemplo rápido: se a equação fosse
, então
e a solução seria
. Mesmo raciocínio.