Determine o conjunto solução das seguintes equações:
\lfloor x\rfloor^{2}-5\lfloor x\rfloor+6=0

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a equação \lfloor x\rfloor^{2}-5\lfloor x\rfloor+6=0.
  • Pedido: determinar o conjunto solução de x, isto é, todos os valores de x (reais) que satisfazem essa equação.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • \lfloor x\rfloor é a função piso (parte inteira inferior): para todo x\in\mathbb{R}, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x.
  • Logo, \lfloor x\rfloor é sempre um número inteiro. Se \lfloor x\rfloor=n então x\in[n,n+1).

Passo 2

Substituição natural: como \lfloor x\rfloor é inteiro, ponho
n=\lfloor x\rfloor,
onde n\in\mathbb{Z} e x\in[n,n+1). A equação do enunciado passa a ser uma equação em n:
n^{2}-5n+6=0.
Agora resolvo essa equação quadrática em n. Procuro fatorá-la: os números inteiros cujo produto é 6 e soma é -5 são -2 e -3. Assim
n^{2}-5n+6=(n-2)(n-3).
Portanto as soluções inteiras para n são
n=2\quad\text{ou}\quad n=3.

Passo 3

Volto à variável x. Para cada valor de n encontrado, uso a relação x\in[n,n+1):
  • Se n=2, então \lfloor x\rfloor=2 e portanto
x\in[2,3).
  • Se n=3, então \lfloor x\rfloor=3 e portanto
x\in[3,4).
Esses dois conjuntos são os candidatos a soluções de x, pois para qualquer x nessas faixas a igualdade em n é satisfeita.

Passo 4

Verificação de pontos de borda e união dos intervalos (breve verificação, sem ainda escrever a resposta final):
  • x=2 pertence a [2,3) e \lfloor 2\rfloor=2 que satisfaz a equação — portanto 2 está incluído.
  • x=3 pertence a [3,4) e \lfloor 3\rfloor=3 que satisfaz a equação — portanto 3 está incluído (note que 3 não pertence a [2,3) mas pertence a [3,4)).
  • x=4 não pertence a [3,4) (pois [3,4) exclui 4) e \lfloor 4\rfloor=4 não resolve a equação, então 4 não é solução.
Observando [2,3)\cup[3,4)=[2,4).

Passo 5

Resumo didático do método (para usar na prova):
  • Sempre que houver \lfloor x\rfloor isolado numa expressão algébrica, é muito conveniente substituir n=\lfloor x\rfloor e resolver a equação em inteiros ( n\in\mathbb{Z}).
  • Depois, para cada solução inteira n, traduzir de volta para x usando x\in[n,n+1).
  • Checar as bordas (valores exatamente inteiros) para ter certeza de inclusão/exclusão correta dos extremos.
Exemplo rápido: se a equação fosse \lfloor x\rfloor-4=0, então n=4 e a solução seria x\in[4,5). Mesmo raciocínio.

Resposta

[2,4)

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