Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada:
f(x, y, z)=x y^{2} z^{2} ; P=(2,-1,4), \vec{u}=(\vec{i}+2 \vec{j}-3 \vec{k})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: achar a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada pelo vetor \vec{u}.
  • Dados:
    • f(x,y,z)=x y^{2} z^{2}.
    • P=(2,-1,4).
    • \vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}.
Resumo: quero a taxa de variação instantânea de f em P quando me movo na direção do vetor \vec{u}.

Passo 2

Definição e ideia prática que vou usar.
  • Definição via limite (teoria): a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{v} é
D_{\mathbf{v}}f(P)=\lim_{h\to0}\frac{f(P+h\mathbf{v})-f(P)}{h}.
  • Forma prática (fórmula útil): se \nabla f é o gradiente de f e \mathbf{v} é um vetor unitário, então
D_{\mathbf{v}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{v},
ou seja, produto escalar entre o gradiente avaliado em P e o vetor unitário na direção desejada.
Por que usar a segunda forma? Porque costuma ser muito mais simples: basta calcular as derivadas parciais (componentes do gradiente), avaliar em P e fazer o produto escalar com o vetor unidade. Vou usar exatamente isso.
Observação importante: é obrigatório usar um vetor unitário na fórmula. Se o vetor dado não for unitário, primeiro normaliza-se.

Passo 3

Normalizar o vetor de direção dado \vec{u}.
  • O vetor dado é \vec{u}=(1,2,-3) (peguei isto do enunciado).
  • Norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
  • Vetor unitário na direção de \vec{u}:
\mathbf{u}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,-3).
Explicação breve: dividir pelo comprimento faz com que o vetor resultante tenha comprimento 1, requisito da fórmula do gradiente.

Passo 4

Calcular o gradiente \nabla f: achar as derivadas parciais.
A função é f(x,y,z)=x y^{2} z^{2}. Vou calcular as três derivadas parciais, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
  • Derivada parcial em relação a x:
    • x aparece multiplicando y^{2}z^{2}. Derivada de x é 1, então
    \frac{\partial f}{\partial x}=y^{2} z^{2}.
    Interpretação: mantenho y e z fixos e derivo x.
  • Derivada parcial em relação a y:
    • f=x\cdot y^{2}\cdot z^{2}. Tratando x e z como constantes, derivada de y^{2} é 2y, portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=2x y z^{2}.
  • Derivada parcial em relação a z:
    • Semelhante: derivando z^{2} 2z, logo
    \frac{\partial f}{\partial z}=2x y^{2} z.
Assim, o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\bigl(y^{2} z^{2},\;2x y z^{2},\;2x y^{2} z\bigr).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto P=(2,-1,4).
Substituo x=2, y=-1, z=4.
  • Primeiro componente: \frac{\partial f}{\partial x}(P)=y^{2} z^{2}=(-1)^{2}\cdot 4^{2}=1\cdot16=16.
  • Segunda componente: \frac{\partial f}{\partial y}(P)=2x y z^{2}=2\cdot 2\cdot(-1)\cdot 16=4\cdot(-1)\cdot16=-64.(detalhe: 2\cdot2=4, z^{2}=16, então 4\cdot(-1)\cdot16=-64.)
  • Terceira componente: \frac{\partial f}{\partial z}(P)=2x y^{2} z=2\cdot 2\cdot 1\cdot 4=4\cdot4=16.
Portanto
\nabla f(P)=(16,\;-64,\;16).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
  • Lembre que \mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{14}}(1,2,-3).
  • Produto escalar (numerador): \nabla f(P)\cdot (1,2,-3)=16\cdot1+(-64)\cdot2+16\cdot(-3).Calculo passo a passo: 16\cdot1=16,\qquad (-64)\cdot2=-128,\qquad 16\cdot(-3)=-48.Somando: 16-128-48=16-176=-160.
  • Agora dividir pela norma (porque \mathbf{u} tinha o fator 1/\sqrt{14}): D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{-160}{\sqrt{14}}.
Interpretação: o sinal negativo indica que, na direção dada por \vec{u}, a função f está diminuindo em P; o módulo \dfrac{160}{\sqrt{14}} é a taxa dessa variação por unidade de comprimento na direção escolhida.

Resposta

-\frac{160}{\sqrt{14}}

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