Ache a derivada direcional de
em
na direção indicada:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: achar a derivada direcional de
no ponto na direção indicada pelo vetor . - Dados:
-
. -
. -
.
-
Resumo: quero a taxa de variação instantânea de
em
quando me movo na direção do vetor
.
Passo 2
Definição e ideia prática que vou usar.
- Definição via limite (teoria): a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é
- Forma prática (fórmula útil): se
é o gradiente de e é um vetor unitário, então
ou seja, produto escalar entre o gradiente avaliado em
e o vetor unitário na direção desejada.
Por que usar a segunda forma? Porque costuma ser muito mais simples: basta calcular as derivadas parciais (componentes do gradiente), avaliar em
e fazer o produto escalar com o vetor unidade. Vou usar exatamente isso.
Observação importante: é obrigatório usar um vetor unitário na fórmula. Se o vetor dado não for unitário, primeiro normaliza-se.
Passo 3
Normalizar o vetor de direção dado
.
- O vetor dado é
(peguei isto do enunciado). - Norma de
:
- Vetor unitário na direção de
:
Explicação breve: dividir pelo comprimento faz com que o vetor resultante tenha comprimento
, requisito da fórmula do gradiente.
Passo 4
Calcular o gradiente
: achar as derivadas parciais.
A função é
. Vou calcular as três derivadas parciais, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
-
Derivada parcial em relação a
: -
aparece multiplicando . Derivada de é , então
Interpretação: mantenhoe fixos e derivo . -
-
Derivada parcial em relação a
: -
. Tratando e como constantes, derivada de é , portanto
-
-
Derivada parcial em relação a
: - Semelhante: derivando
dá , logo
- Semelhante: derivando
Assim, o gradiente é
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituo
,
,
.
- Primeiro componente:
- Segunda componente:
(detalhe: , , então .) - Terceira componente:
Portanto
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar
.
- Lembre que
. - Produto escalar (numerador):
Calculo passo a passo: Somando: - Agora dividir pela norma (porque
tinha o fator ):
Interpretação: o sinal negativo indica que, na direção dada por
, a função
está diminuindo em
; o módulo
é a taxa dessa variação por unidade de comprimento na direção escolhida.