Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y)=\frac{x-y}{x+y} ; P=(2,-1), \vec{u}=(3 \vec{i}+4 \vec{j})
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \vec{u}.
Dados fornecidos:
f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}.
P=(2,-1).
\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}.
O que é pedido explicitamente: encontrar o valor de D_{\vec{u}}f(P), ou seja, a derivada direcional de f em P na direção dada por \vec{u}.
Passo 2
Definição e estratégia prática:
A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{v} é dada por \,D_{\mathbf{v}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{v}\,, onde \nabla f é o gradiente de f e “\cdot” é o produto escalar.
Portanto vamos: (i) calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}; (ii) formar \nabla f(P); (iii) normalizar \vec{u} para obter o vetor unitário; (iv) fazer o produto escalar.
Agora calculamos as derivadas parciais. Usei a regra do quociente: se f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} então \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{N_x D - N D_x}{D^2} e similar para \partial f/\partial y. Aqui N(x,y)=x-y e D(x,y)=x+y.
Lembrete didático curto: é obrigatório normalizar porque a definição da derivada direcional pela fórmula do gradiente usa um vetor de comprimento 1; sem normalizar o resultado seria o “derivado na direção do vetor” multiplicado pelo comprimento desse vetor.
Passo 5
Calcular a derivada direcional por produto escalar: