Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada:
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y} ; P=(2,-1), \vec{u}=(3 \vec{i}+4 \vec{j})

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \vec{u}.
Dados fornecidos:
  • f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}.
  • P=(2,-1).
  • \vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}.
O que é pedido explicitamente: encontrar o valor de D_{\vec{u}}f(P), ou seja, a derivada direcional de f em P na direção dada por \vec{u}.

Passo 2

Definição e estratégia prática:
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{v} é dada por \,D_{\mathbf{v}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{v}\,, onde \nabla f é o gradiente de f e “ \cdot” é o produto escalar.
  • Portanto vamos: (i) calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}; (ii) formar \nabla f(P); (iii) normalizar \vec{u} para obter o vetor unitário; (iv) fazer o produto escalar.
Agora calculamos as derivadas parciais. Usei a regra do quociente: se f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} então \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{N_x D - N D_x}{D^2} e similar para \partial f/\partial y. Aqui N(x,y)=x-y e D(x,y)=x+y.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • N_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
  • D_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
    Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{(1)(x+y) - (x-y)(1)}{(x+y)^2}.
Simplificando o numerador:
(1)(x+y) - (x-y)(1) = x+y - x + y = 2y.
Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2y}{(x+y)^2}.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • N_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1.
  • D_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
    Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{(-1)(x+y) - (x-y)(1)}{(x+y)^2}.
Simplificando o numerador:
(-1)(x+y) - (x-y) = -x - y - x + y = -2x.
Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{-2x}{(x+y)^2}.

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(2,-1).
Primeiro calcule x+y em P:
x+y = 2 + (-1) = 1, \qquad (x+y)^2 = 1^2 = 1.
Agora avalie as parciais:
\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{P} = \dfrac{2y}{(x+y)^2}\Bigg|_{P} = \dfrac{2\cdot(-1)}{1} = -2,
\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{P} = \dfrac{-2x}{(x+y)^2}\Bigg|_{P} = \dfrac{-2\cdot 2}{1} = -4.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(P) = \langle -2,\,-4\rangle.

Passo 4

Obter o vetor unitário na direção de \vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}.
O módulo de \vec{u} é
\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
O vetor unitário correspondente é
\mathbf{v}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} = \left\langle \dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5}\right\rangle.
Lembrete didático curto: é obrigatório normalizar porque a definição da derivada direcional pela fórmula do gradiente usa um vetor de comprimento 1; sem normalizar o resultado seria o “derivado na direção do vetor” multiplicado pelo comprimento desse vetor.

Passo 5

Calcular a derivada direcional por produto escalar:
D_{\mathbf{v}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{v} = \langle -2,-4\rangle\cdot\left\langle \dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right\rangle.
Fazendo o produto escalar passo a passo:
D_{\mathbf{v}}f(P)=(-2)\cdot\dfrac{3}{5} + (-4)\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{-6}{5} + \dfrac{-16}{5} = \dfrac{-22}{5}.

Resposta

-\dfrac{22}{5}

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