Ache o gradiente de f em P :
f(x, y)=7 y-5 x ; P=(2,6)

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto:
  • Função: f(x,y)=7y-5x.
  • Ponto: P=(2,6).
O que pede: calcular o gradiente de f em P; isto é, encontrar o vetor gradiente \nabla f(P).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (aula rápida e prática).
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Aqui \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo (tratamos y como constante). De forma análoga, \frac{\partial f}{\partial y} deriva em relação a y mantendo x fixo.
  • Geometricamente, \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f e seu módulo dá a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
  • Escrevendo f destacando os termos:
f(x,y) = -5x + 7y.
  • Ao derivar em relação a x mantendo y constante, o termo -5x -5 e o termo 7y é constante (derivada 0). Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -5.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
  • Agora tratamos x como constante. O termo -5x é constante (derivada 0) e o termo 7y 7. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 7.

Passo 5

Montar o gradiente e avaliá‑lo em P.
  • O gradiente geral é
\displaystyle \nabla f(x,y)=(-5,\;7).
  • Como o gradiente aqui não depende de x nem de y (é constante), a avaliação em P=(2,6) é a mesma:
\nabla f(2,6)=(-5,\;7).
  • Comentário prático para prova: para funções lineares da forma ax+by+c, as derivadas parciais são simplesmente os coeficientes (a,b) (com sinal apropriado), portanto o gradiente é constante — boa dica para economizar tempo.

Resposta

(-5,\,7)

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