Ache o gradiente de
em
:
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto:
- Função:
. - Ponto:
.
O que pede: calcular o gradiente de
em
; isto é, encontrar o vetor gradiente
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (aula rápida e prática).
- Para uma função de duas variáveis
, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de :
- Aqui
é a derivada de em relação a mantendo fixo (tratamos como constante). De forma análoga, deriva em relação a mantendo fixo. - Geometricamente,
aponta na direção de maior crescimento de e seu módulo dá a taxa de crescimento nessa direção.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
- Escrevendo
destacando os termos:
- Ao derivar em relação a
mantendo constante, o termo dá e o termo é constante (derivada ). Logo
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
.
- Agora tratamos
como constante. O termo é constante (derivada ) e o termo dá . Assim
Passo 5
Montar o gradiente e avaliá‑lo em
.
- O gradiente geral é
- Como o gradiente aqui não depende de
nem de (é constante), a avaliação em é a mesma:
- Comentário prático para prova: para funções lineares da forma
, as derivadas parciais são simplesmente os coeficientes (com sinal apropriado), portanto o gradiente é constante — boa dica para economizar tempo.