Ache a derivada direcional de f em P na direção de v (normalize para achar a direção u=v /|v|)
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2), P=(1,1,2), u=(4,3,5)

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a derivada direcional de uma função escalar de três variáveis. O conteúdo envolvido é gradiente e derivada direcional, e precisamos: 1) obter nabla f(x,y,z), 2) avaliar em P=(1,1,2), 3) normalizar o vetor u=(4,3,5) e 4) fazer o produto escalar entre nabla f(P) e o versor resultante.

Passo 2

A função é f(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2). Para calcular o gradiente usamos derivadas parciais:
nabla f(x,y,z)=l(2xx^2+y^2+z^2,;2yx^2+y^2+z^2,;2zx^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Agora avaliamos em P=(1,1,2). Como 1^2+1^2+2^2=6, temos
nabla f(1,1,2)=l(2cdot16,;2cdot16,;2cdot26r)=l(tfrac13,tfrac13,tfrac23r)

Passo 4

Precisamos normalizar u=(4,3,5). O módulo é
|u|=raiz4^2+3^2+5^2=raiz50=5raiz2,
então o versor é
hat u=u|u|=l(45raiz2,35raiz2,55raiz2r)=l(45raiz2,35raiz2,1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
Dhat uf(P)=nabla f(1,1,2)cdothat u=13cdot45raiz2+13cdot35raiz2+23cdot1raiz2
Colocando em denominador comum 15raiz2 obtemos
Dhat uf(P)=715raiz2+1015raiz2=1715raiz2

Passo 6

Podemos racionalizar o denominador para ficar
Dhat uf(P)=17raiz230

Resposta

Duf(P)=1715raiz2=17raiz230

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