Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(z)=tg^2(5 z)

Passo 1

A questão pede a derivada de uma função composta, usando a regra da cadeia. Temos uma função trigonométrica elevada ao quadrado, então vamos precisar da derivada de tan(u) e da regra da cadeia para composições.

Passo 2

Escrevendo f(z) como composição: seja u(z)=5z e v(u)=tan(u). Então f(z)=v(u(z))^2=l(tan(5z)r)^2.

Passo 3

Para aplicar a regra da cadeia em f(z)=l(v(u)r)^2, usamos ddz[w^2]=2wcdot w'. Aqui w=tan(5z), logo
w'=ddzl(tan(5z)r)=sec^2(5z)cdotddz(5z)=5sec^2(5z)

Passo 4

Substituindo em f'(z)=2wcdot w' obtemos:
f'(z)=2,tan(5z)timesl(5sec^2(5z)r)=10,tan(5z)sec^2(5z)

Resposta

f'(z)=10,tan(5z)sec^2(5z)

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