Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Temos a função
f(x)=sen(3x^2+6x+1) e vamos precisar do conceito de derivada de função composta.

Passo 2

Identificamos a função externa e a função interna. Definimos
u(x)=3x^2+6x+1
como função interna e
g(u)=sen(u)
como função externa, de modo que
f(x)=g(u(x)).

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna. Derivando u(x)=3x^2+6x+1 em relação a x obtemos
u'(x)=6x+6

Passo 4

Calculamos a derivada da função externa. Derivando g(u)=sen(u) em relação a u obtemos
g'(u)=cos(u)

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de f(x)=g(u(x)) é
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)
Substituindo u(x) e as derivadas já calculadas, chegamos a
f'(x)=cos(3x^2+6x+1)cdot(6x+6)

Resposta

f'(x)=(6x+6)cos(3x^2+6x+1)

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