Ache a derivada direcional de f em P na direção de v (normalize para achar a direção u=v /|v|)
f(x, y, z)=3 x^2-2 y+cos (z), P=(2,1, pi), v=(1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f em P na direção de v. Isso é um problema de derivada direcional, onde vamos usar o gradiente de f e o vetor unitário u na direção de v.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como f(x,y,z)=3x^2-2y+cos(z), temos nabla f(x,y,z)=(6x,,-2,,-sin(z)).

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P=(2,1,\pi): nabla f(2,1,pi)=(6cdot2,,-2,,-sin(pi))=(12,,-2,,0).

Passo 4

Normalizamos v=(1,2,1). O módulo é |v|=raiz1^2+2^2+1^2=raiz6, então o vetor unitário é u=v|v|=l(tfrac1raiz6,tfrac2raiz6,tfrac1raiz6r).

Passo 5

A derivada direcional é Du f(P)=nabla f(P)cdot u=(12,-2,0)cdot(tfrac1raiz6,tfrac2raiz6,tfrac1raiz6)=12-4+0raiz6=8raiz6.

Resposta

8raiz6

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