Ache a derivada direcional de f em
, na direção de
para
. (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em
e determine a taxa de variação de
naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de
naquela direção.
Passo 1
Primeiro, recapitulando o enunciado: temos
, o ponto
e queremos a derivada direcional de
em
na direção de
para
. Também vamos achar o vetor unitário de maior crescimento (e sua taxa) e o vetor unitário de maior decrescimento (e sua taxa). Para isso, usamos o gradiente de
e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Lembrando que a derivada direcional em uma direção unitária
é
, e que a direção de maior crescimento é a própria direção de
. Vamos calcular as derivadas parciais:
$$f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 e^{-2y}\bigr) = 2x e^{-2y}.
$$
$$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 e^{-2y}\bigr) = -2x^2 e^{-2y}.
$$
Em
isso dá
$$f_x(2,0)=4,\quad f_y(2,0)=-8.
$$
Logo
Passo 3
Para a derivada direcional de
para
primeiro obtemos o vetor
$$PQ = Q - P = (-3-2,;1-0) = (-5,1).
$$
A unidade nessa direção é
$$\mathbf{u}_{PQ} = \frac{1}{\sqrt{(-5)2+12}}(-5,1) = \Bigl(-\frac{5}{\sqrt{26}},;\frac{1}{\sqrt{26}}\Bigr).
$$
Então a derivada direcional é
$$\nD_{\mathbf{u}{PQ}}f(2,0) = \nabla f(2,0)\cdot \mathbf{u}{PQ} = (4,-8)\cdot\Bigl(-\frac{5}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}}\Bigr) = -\frac{28}{\sqrt{26}}.
$$
Passo 4
A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente. O vetor gradiente em
é
com norma
$$|\nabla f(2,0)| = \sqrt{42+(-8)2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.
$$
O vetor unitário correspondente é
$$\mathbf{u}_{\max} = \frac{1}{4\sqrt{5}}(4,-8) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
$$
A taxa de variação máxima é justamente
, ou seja
.
Passo 5
A direção de maior decrescimento é a oposta ao gradiente, isto é
$$\mathbf{u}{\min} = -\mathbf{u}{\max} = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
$$
A taxa de variação nessa direção é
, ou seja
.
Resposta
(I)
(II) Vetor unitário de maior crescimento:
com taxa
(III) Vetor unitário de maior decrescimento:
com taxa