Ache a derivada direcional de f em P, na direção de P para Q. (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
f(x, y)=x^2 e^-2 y, P(2,0), Q=(-3,1)

Passo 1

Primeiro, recapitulando o enunciado: temos f(x,y)=x^2 e^-2y, o ponto P=(2,0) e queremos a derivada direcional de f em P na direção de P para Q=(-3,1). Também vamos achar o vetor unitário de maior crescimento (e sua taxa) e o vetor unitário de maior decrescimento (e sua taxa). Para isso, usamos o gradiente de f e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Lembrando que a derivada direcional em uma direção unitária u é Duf=nabla fcdotu, e que a direção de maior crescimento é a própria direção de nabla f. Vamos calcular as derivadas parciais:
$$f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 e^{-2y}\bigr) = 2x e^{-2y}.
$$
$$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 e^{-2y}\bigr) = -2x^2 e^{-2y}.
$$
Em fx(x,y) = partialpartial xl(x^2 e^-2yr) = 2x e^-2y isso dá
$$f_x(2,0)=4,\quad f_y(2,0)=-8.
$$
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Passo 3

Para a derivada direcional de P para Q primeiro obtemos o vetor
$$PQ = Q - P = (-3-2,;1-0) = (-5,1).
$$
A unidade nessa direção é
$$\mathbf{u}_{PQ} = \frac{1}{\sqrt{(-5)2+12}}(-5,1) = \Bigl(-\frac{5}{\sqrt{26}},;\frac{1}{\sqrt{26}}\Bigr).
$$
Então a derivada direcional é
$$\nD_{\mathbf{u}{PQ}}f(2,0) = \nabla f(2,0)\cdot \mathbf{u}{PQ} = (4,-8)\cdot\Bigl(-\frac{5}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}}\Bigr) = -\frac{28}{\sqrt{26}}.
$$

Passo 4

A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente. O vetor gradiente em P é (4,-8) com norma
$$|\nabla f(2,0)| = \sqrt{42+(-8)2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.
$$
O vetor unitário correspondente é
$$\mathbf{u}_{\max} = \frac{1}{4\sqrt{5}}(4,-8) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
$$
A taxa de variação máxima é justamente |nabla f(2,0)| = raiz4^2+(-8)^2 = raiz80 = 4raiz5 , ou seja umax = 14raiz5(4,-8) = l(1raiz5, -2raiz5r) .

Passo 5

A direção de maior decrescimento é a oposta ao gradiente, isto é
$$\mathbf{u}{\min} = -\mathbf{u}{\max} = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
$$
A taxa de variação nessa direção é umin = -umax = l(-1raiz5, 2raiz5r) , ou seja -|nabla f(2,0)|.

Resposta

(I) DuPQf(2,0) = -28raiz26 (II) Vetor unitário de maior crescimento: l(1raiz5, -2raiz5r) com taxa 4raiz5 (III) Vetor unitário de maior decrescimento: l(-1raiz5, 2raiz5r) com taxa -4raiz5

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