Determine os limites:
lim x 0 e^x-e^-2 xln (1+x)

Passo 1

Nesse problema temos o limite limx to 0 e^x - e^-2xln(1+x). O conteúdo é limites de funções exponenciais e logarítmicas, que geram uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, confirmamos a indeterminação: ao substituir x=0, o numerador fica e^0 - e^0 = 0 e o denominador ln(1+0)=0. Logo, podemos derivar numerador e denominador.

Passo 3

Derivando cada parte temos: ddx(e^x - e^-2x) = e^x + 2e^-2x e ddxln(1+x) = 11+x.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, o limite transforma-se em:
limxto0l(e^x + 2e^-2xr),(1+x)
Agora basta substituir x=0: (e^0 + 2e^0),(1+0) = (1+2)cdot1 = 3.

Resposta

3

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