Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral1^infty sen^2 x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral1^infty sin^2x1+x^2,dx
usando o Teorema da Comparação. O conteúdo é teste de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar usar que 0<=sin^2x<=1 e comparar com uma integral conhecida.

Passo 2

Observamos que sin^2x1+x^2>=0 para todo x. Assim, a integral dada é de uma função não-negativa, e basta compará-la com uma função maior cuja integral seja convergente.

Passo 3

Como sin^2x<=1, temos
0<=sin^2x1+x^2<=11+x^2
Sabemos que
integral1^infty11+x^2,dx=limbtoinfty[arctan x]1^b=pi2-pi4=pi4,
que é finito.

Passo 4

Pelo Teorema da Comparação, como 0<=sin^2x1+x^2<=11+x^2 e integral1^infty11+x^2,dx converge, concluímos que
integral1^inftysin^2x1+x^2,dx
converge também.

Resposta

A integral é convergente pelo critério da comparação.

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