Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre.
f(x, y, z)=x e^z+sen(y),(2,0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x e^z+sin(y) e pede a derivada direcional máxima em P=(2,0,0) e a direção em que ela ocorre. O conteúdo envolve o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é dada por
Duf(P)=nabla f(P)cdot u,
e o valor máximo de Duf é |nabla f(P)|. Para isso, primeiro calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são:
partial fpartial x=e^z,
partial fpartial y=cos(y),
partial fpartial z=x,e^z

Passo 3

Avaliaremos nabla f em P=(2,0,0). Como e^0=1 e cos(0)=1, temos:
nabla f(2,0,0)=(1,;1,;2)

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional é o módulo de nabla f(2,0,0). Calculamos:
|nabla f(2,0,0)|=raiz1^2+1^2+2^2=raiz6
A direção em que esse valor ocorre é o vetor unitário paralelo a nabla f(2,0,0), ou seja:
u=1raiz6(1,;1,;2)

Resposta

A derivada direcional máxima vale raiz6 e ocorre na direção 1raiz6(1,1,2).

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