(a) (0,3) Sejam f, g:[a, b] R contínuas, com g(a)<f(a) e f(b)<g(b). Mostre que existe c in(a, b) tal que f(c)=g(c).
(b) ( 0,6 ) Sendo D=R backslash pm k pi: k in N, através do item (a) mostre que a função h: D R definida por h(x)=x-cotg(x) possui infinitas raízes.

Passo 1

O item (a) pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que duas funções contínuas f,gcolon [a,b]toR com
g(a)<f(a) e f(b)<g(b)
têm um ponto cin(a,b) em que f(c)=g(c).
No item (b) vamos aplicar esse resultado à função
h(x)=x-cot(x)
no domínio D=Rsetminuspm kpi:kinN para mostrar que ela tem raízes em infinitos intervalos (kpi,(k+1)pi).

Passo 2

Defina
phi(x)=f(x)-g(x)
Como f e g são contínuas em [a,b], phi também é contínua. Note que
phi(a)=f(a)-g(a)>0 e phi(b)=f(b)-g(b)<0
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(a,b) tal que phi(c)=0. Logo
f(c)-g(c)=0 Longrightarrow f(c)=g(c)

Passo 3

Para o item (b), em cada intervalo aberto (kpi,(k+1)pi) (com kinNcup0) consideramos as funções contínuas em algum intervalo fechado contido nele:
f(x)=cot(x), g(x)=x
Como limxto kpi^+cot(x)=+infty e limxto (k+1)pi^-cot(x)=-infty, podemos escolher de<ak>0 suficientemente pequeno de modo que, definindo
ak=kpi+de<ak, bk=(k+1)pi-de<ak,
tenhamos
  1. g(ak)=kpi+de<ak<cot(de<ak)=f(ak),
  2. f(bk)=cotl((k+1)pi-de<akr)=-cot(de<ak)<(k+1)pi-de<ak=g(bk).
Assim as hipóteses de (a) valem para f e g em [ak,bk], garantindo um ponto
ckin(ak,bk)subset(kpi,(k+1)pi)
tal que
f(ck)=g(ck) Longrightarrow cot(ck)=ck Longrightarrow h(ck)=ck-cot(ck)=0
Como isso pode ser feito para cada k, existem infinitas raízes de h em D.

Resposta

(a) Definindo phi(x)=f(x)-g(x), aplicamos o Teorema do Valor Intermediário a phi em [a,b] e obtemos cin(a,b) com f(c)=g(c).
(b) Em cada intervalo (kpi,(k+1)pi) aplicamos (a) a f(x)=cot(x) e g(x)=x numa subfaixa [ak,bk], obtendo uma raiz ck de x-cot(x)=0. Portanto h tem infinitas raízes.

Exercícios relacionados