(a)
Sejam
contínuas, com
e
. Mostre que existe
tal que
.
(b) ( 0,6 ) Sendo
, através do item (a) mostre que a função
definida por
possui infinitas raízes.
(b) ( 0,6 ) Sendo
Passo 1
O item (a) pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que duas funções contínuas
com
têm um ponto
em que
.
No item (b) vamos aplicar esse resultado à função
No item (b) vamos aplicar esse resultado à função
no domínio
para mostrar que ela tem raízes em infinitos intervalos
.
Passo 2
Defina
Como
e
são contínuas em
,
também é contínua. Note que
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
. Logo
Passo 3
Para o item (b), em cada intervalo aberto
(com
) consideramos as funções contínuas em algum intervalo fechado contido nele:
Como
e
, podemos escolher
suficientemente pequeno de modo que, definindo
tenhamos
-
, -
.
Assim as hipóteses de (a) valem para
e
em
, garantindo um ponto
tal que
Como isso pode ser feito para cada
, existem infinitas raízes de
em
.
Resposta
(a) Definindo
, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário a
em
e obtemos
com
.
(b) Em cada intervalo aplicamos (a) a
e
numa subfaixa
, obtendo uma raiz
de
. Portanto
tem infinitas raízes.
(b) Em cada intervalo