Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre.
f(x, y, z)=-4y+z ln (x),(1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional máxima de f no ponto (1,2,-1). Em cálculo vetorial, sabemos que essa derivada máxima é dada pela norma do gradiente de f nesse ponto, e ocorre na direção do vetor gradiente.

Passo 2

Vamos obter as derivadas parciais de
f(x,y,z) = -4y + z,ln(x)
Em geral:
partial fpartial x = zx, partial fpartial y = 4y^2, partial fpartial z = ln(x)

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em (x,y,z)=(1,2,-1):
partial fpartial x(1,2,-1) = -11 = -1, partial fpartial y(1,2,-1) = 42^2 = 1, partial fpartial z(1,2,-1) = ln(1) = 0
Logo,
nabla f(1,2,-1) = (-1,,1,,0)

Passo 4

A derivada direcional máxima é a norma de nabla f(1,2,-1), e a direção é o vetor gradiente normalizado. Calculamos:
|nabla f(1,2,-1)| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2,
direção unitária u = 1raiz2(-1,1,0) = l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r) çãá

Resposta

A derivada direcional máxima vale raiz2 e ocorre na direção l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2,,0r).

Exercícios relacionados