Determine, se existirem:
lim x 1^+ sin (1x-1) ln x.
Para todo x>1,
-1 <= sin (1x-1) <= 1 e ln x>0
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-ln x <= sin (1x-1) ln x <= ln x
Como lim x 1^+-ln x=lim x 1^+ ln x=0, segue, pelo teorema do confronto, que lim x 1^+ sin (1x-1) ln x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1^+sinl(1x-1r),ln x
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e o fato de que, para todo x>1, sin é limitado em [-1,1] e ln x é positivo mas tende a zero quando xto1^+.

Passo 2

Como para todo tinR vale
-1 <= sin(t)<= 1,
em particular, para t = tfrac1x-1 temos
-1 <= sinl(tfrac1x-1r)<= 1

Passo 3

Para x>1, ln x>0. Multiplicando a desigualdade anterior por ln x (que é positivo), obtemos
-ln x ;<=; sinl(tfrac1x-1r),ln x ;<=; ln x

Passo 4

Calculamos os limites das funções de contorno quando xto1^+:
limxto1^+(-ln x) = -limxto1^+ln x = -0 = 0,
limxto1^+ln x = 0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-ln x <= sinl(tfrac1x-1r),ln x <= ln x
e ambos os limites extremos são 0, segue que
limxto1^+sinl(tfrac1x-1r),ln x =0

Resposta

0

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