Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas: a função é a negativa do cosecante do quadrado de
. Objetivo: encontrar
passo a passo.
Passo 2
Vamos lembrar (e provar rapidamente) a derivada do cosecante simples. Começamos com a identidade
Derivando usando a regra da potência / regra da cadeia para
ou a regra do quociente, obtemos
Agora usamos as definições
e
para escrever
Portanto:
Passo 3
Agora a regra mais importante aqui: a regra da cadeia. Ela diz que, para uma função composta
,
Explicando com palavras: você deriva a função externa
avaliando-a no interior
, e depois multiplica pelo derivada do interior
. Exemplo rápido:
.
Passo 4
Identificamos as partes da nossa função:
- interior
; - função externa
(note que o sinal negativo é apenas um fator constante multiplicando ).
Assim
.
Passo 5
Vamos derivar passo a passo. Primeiro a derivada da parte externa em relação a
:
Usando o resultado do Passo 2,
. Logo
Agora a derivada do interior:
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
:
Passo 6
Se você preferir uma forma sem funções trigonométricas recíprocas, use
e
. Assim
As duas formas são equivalentes.
Passo 7
Observação sobre domínio: a derivada só existe onde
, porque
e
não estão definidas quando
. Isso corresponde a pontos
tais que
para algum
, ou seja,
(quando bem definido).