Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=-\csc \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x) = -\csc\!\left(x^{2}\right).
Informações dadas: a função é a negativa do cosecante do quadrado de x. Objetivo: encontrar f'(x) passo a passo.

Passo 2

Vamos lembrar (e provar rapidamente) a derivada do cosecante simples. Começamos com a identidade
\csc x = \frac{1}{\sin x}.
Derivando usando a regra da potência / regra da cadeia para (\sin x)^{-1} ou a regra do quociente, obtemos
\frac{d}{dx}\csc x = \frac{d}{dx}(\sin x)^{-1} = -1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Agora usamos as definições \csc x = \dfrac{1}{\sin x} e \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} para escrever
-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\csc x\cot x.
Portanto:
\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x.

Passo 3

Agora a regra mais importante aqui: a regra da cadeia. Ela diz que, para uma função composta h(x)=F(G(x)),
h'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x).
Explicando com palavras: você deriva a função externa F avaliando-a no interior G(x), e depois multiplica pelo derivada do interior G'(x). Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.

Passo 4

Identificamos as partes da nossa função:
  • interior u(x)=x^{2};
  • função externa F(u) = -\csc u (note que o sinal negativo é apenas um fator constante multiplicando \csc u).
Assim f(x)=F(u(x)).

Passo 5

Vamos derivar passo a passo. Primeiro a derivada da parte externa em relação a u:
F(u) = -\csc u \quad\Longrightarrow\quad F'(u) = -\frac{d}{du}\csc u.
Usando o resultado do Passo 2, \dfrac{d}{du}\csc u = -\csc u\cot u. Logo
F'(u) = -\big(-\csc u\cot u\big) = \csc u\cot u.
Agora a derivada do interior:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x) = \big(\csc(u)\cot(u)\big)\cdot 2x.
Substituindo u=x^{2}:
f'(x)=2x\;\csc\!\big(x^{2}\big)\;\cot\!\big(x^{2}\big).

Passo 6

Se você preferir uma forma sem funções trigonométricas recíprocas, use \csc t=\dfrac{1}{\sin t} e \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}. Assim
f'(x)=2x\cdot\frac{1}{\sin(x^{2})}\cdot\frac{\cos(x^{2})}{\sin(x^{2})} = 2x\cdot\frac{\cos(x^{2})}{\sin^{2}(x^{2})}.
As duas formas são equivalentes.

Passo 7

Observação sobre domínio: a derivada só existe onde \sin(x^{2})\neq 0, porque \csc e \cot não estão definidas quando \sin(x^{2})=0. Isso corresponde a pontos x tais que x^{2}=k\pi para algum k\in\mathbb{Z}, ou seja, x=\pm\sqrt{k\pi} (quando bem definido).

Resposta

f'(x)=2x\;\csc\!\big(x^{2}\big)\;\cot\!\big(x^{2}\big)

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