Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
\sin (x) \cdot \cos (x) \cdot \tan (x) \cdot \cot (x)

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada f^{\prime}(x) da função dada abaixo. As informações que temos são exatamente a própria função:
f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot\tan(x)\cdot\cot(x).
Observações úteis (informação dada / implicada pelo enunciado):
\tan(x) e \cot(x) aparecem na expressão, logo a função original só está definida nos pontos onde \cos(x)\neq0 e \sin(x)\neq0 (porque \tan e \cot têm essas restrições). Vou usar identidades e derivadas de funções trigonométricas para calcular f'(x).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar — isso costuma deixar tudo muito mais fácil na hora da prova. Use que
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
e
\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
Substituindo na função,
f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
Agora simplificamos cancelando fatores iguais (assumindo os pontos do domínio onde isso faz sentido):
f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot\underbrace{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}_{=1}= \sin(x)\cos(x).
Portanto, para os x em que a função original está definida, ela simplifica para
f(x)=\sin(x)\cos(x).

Passo 3

Uma identidade trigonométrica muito útil é a do ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
Isolando \sin(x)\cos(x) obtemos
\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x).
Essa forma é conveniente porque transforma um produto em uma única função composta, e aí usamos a regra da cadeia para derivar.

Passo 4

Agora derivamos f(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x). Lembre a regra da cadeia: se g(x)=\sin(u(x)), então g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=2x, logo u'(x)=2. Aplicando:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\cos(2x)\cdot 2.
Simplificando o \tfrac{1}{2}\cdot 2 obtemos
f'(x)=\cos(2x).

Passo 5

Como checagem alternativa (útil para a prova): podemos também ter usado a regra do produto diretamente em f(x)=\sin(x)\cos(x). A regra do produto diz que (uv)'=u'v+uv'. Tomando u=\sin(x) e v=\cos(x), temos u'=\cos(x) e v'=-\sin(x). Então
f'(x)=\cos(x)\cos(x)+\sin(x)(-\sin(x))=\cos^2(x)-\sin^2(x).
E pela identidade trigonométrica \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x), confirmamos novamente
f'(x)=\cos(2x).

Resposta

\cos(2x)

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