O enunciado pede para achar a derivada f^{\prime}(x) da função dada abaixo. As informações que temos são exatamente a própria função:
f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)\cdot\tan(x)\cdot\cot(x).
Observações úteis (informação dada / implicada pelo enunciado): \tan(x) e \cot(x) aparecem na expressão, logo a função original só está definida nos pontos onde \cos(x)\neq0 e \sin(x)\neq0 (porque \tan e \cot têm essas restrições). Vou usar identidades e derivadas de funções trigonométricas para calcular f'(x).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar — isso costuma deixar tudo muito mais fácil na hora da prova. Use que
Portanto, para os x em que a função original está definida, ela simplifica para
f(x)=\sin(x)\cos(x).
Passo 3
Uma identidade trigonométrica muito útil é a do ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
Isolando \sin(x)\cos(x) obtemos
\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x).
Essa forma é conveniente porque transforma um produto em uma única função composta, e aí usamos a regra da cadeia para derivar.
Passo 4
Agora derivamos f(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x). Lembre a regra da cadeia: se g(x)=\sin(u(x)), então g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=2x, logo u'(x)=2. Aplicando:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\cos(2x)\cdot 2.
Simplificando o \tfrac{1}{2}\cdot 2 obtemos
f'(x)=\cos(2x).
Passo 5
Como checagem alternativa (útil para a prova): podemos também ter usado a regra do produto diretamente em f(x)=\sin(x)\cos(x). A regra do produto diz que (uv)'=u'v+uv'. Tomando u=\sin(x) e v=\cos(x), temos u'=\cos(x) e v'=-\sin(x). Então