Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=\sin (x) \cos \left(x^{2}\right) \tan \left(\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada f'(x) da função
f(x)=\sin(x)\cos\big(x^{2}\big)\tan\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big).
Informações relevantes dadas:
\text{a função }f(x)\text{ está escrita como produto de três fatores: }\sin(x),\\ \cos\big(x^{2}\big)\text{ e }\tan\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big).çãáê
A pergunta é única: calcular f'(x).

Passo 2

Primeira observação prática: \tan\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big) é um número constante (não depende de x). Sabemos que
\tan\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tan(60^\circ)=\sqrt{3}.
Isso significa que podemos reescrever f(x) como constante vezes um produto mais simples.

Passo 3

Reescrevendo f(x) com a constante explícita:
f(x)=\sqrt{3}\,\sin(x)\cos\big(x^{2}\big).
Agora temos uma constante multiplicando o produto de duas funções de x: u(x)=\sin(x) e v(x)=\cos\big(x^{2}\big).

Passo 4

Regra importante (que vou usar): a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Formalmente, se c é constante e g(x) é diferenciável, então
\big(c\,g(x)\big)'=c\,g'(x).
Logo basta calcular a derivada de g(x)=\sin(x)\cos\big(x^{2}\big) e depois multiplicar por \sqrt{3}.

Passo 5

Outra regra que vamos usar: produto de duas funções. Se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\big(u(x)v(x)\big)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u(x)=\sin(x) e v(x)=\cos\big(x^{2}\big).

Passo 6

Preciso também das derivadas básicas das funções trigonométricas e da regra da cadeia:
  • Derivada da seno:
\big(\sin x\big)'=\cos x.
  • Derivada da cosseno:
\big(\cos x\big)'=-\sin x.
  • Regra da cadeia (para função composta): se h(x)=F(G(x)) então
h'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para v(x)=\cos\big(x^{2}\big): aqui F(t)=\cos t e G(x)=x^{2}. Assim
v'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x)=\big(-\sin\big(x^{2}\big)\big)\cdot (2x)=-2x\sin\big(x^{2}\big).

Passo 8

Agora calcule u'(x) e v'(x) explicitamente:
u(x)=\sin(x)\quad\Rightarrow\quad u'(x)=\cos(x),
v(x)=\cos\big(x^{2}\big)\quad\Rightarrow\quad v'(x)=-2x\sin\big(x^{2}\big).

Passo 9

Use a regra do produto para g(x)=u(x)v(x)=\sin(x)\cos\big(x^{2}\big):
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\cos(x)\cos\big(x^{2}\big)+\sin(x)\big(-2x\sin\big(x^{2}\big)\big).
Simplificando o sinal:
g'(x)=\cos(x)\cos\big(x^{2}\big)-2x\sin(x)\sin\big(x^{2}\big).

Passo 10

Finalmente, voltando à constante \sqrt{3} vista no Passo 4, a derivada de f(x) é
f'(x)=\sqrt{3}\,g'(x)=\sqrt{3}\Big(\cos(x)\cos\big(x^{2}\big)-2x\sin(x)\sin\big(x^{2}\big)\Big).

Resposta

f'(x)=\sqrt{3}\Big(\cos(x)\cos\big(x^{2}\big)-2x\sin(x)\sin\big(x^{2}\big)\Big)

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