Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=\frac{\tan \left(\operatorname{sec} ^{2}\left(\cos ^{3}\left(\sin ^{4}\left(\pi^{\pi}\right)\right)\right)\right)\right)}{3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f'(x) da função
f(x)=\frac{\tan\!\big(\operatorname{sec}^{2}\big(\cos^{3}\big(\sin^{4}\big(\pi^{\pi}\big)\big)\big)\big)}{3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\pi
é a constante pi; todas as operações dentro de \tan(\cdot) usam apenas constantes (potências, seno, cosseno, secante, tangente) avaliadas em \pi^{\pi}. Não aparece a variável x em nenhuma parte da expressão. A pergunta é explicitamente: calcular f'(x).

Passo 2

Concluir o tipo de função: como a expressão dentro do numerador não depende de x, a quantidade
C := \tan\!\big(\operatorname{sec}^{2}\big(\cos^{3}\big(\sin^{4}\big(\pi^{\pi}\big)\big)\big)\big)
é uma constante (um número fixo). Portanto podemos reescrever
f(x)=\frac{C}{3},
onde C é constante.

Passo 3

Recordando a regra básica de diferenciação: a derivada de uma função constante é zero. Mais formalmente, se g(x)=k com k constante, então
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{k-k}{h}=0.
Isso vale para qualquer constante k.

Passo 4

Também usar uma propriedade simples de derivadas: a constante multiplicativa sai da derivada. Ou seja, se h(x)=a\cdot u(x) com a constante, então
h'(x)=a\cdot u'(x).
Aplicando isso a f(x)=\tfrac{1}{3}C (com C constante), temos
f'(x)=\frac{1}{3}\,C'.

Passo 5

Como C é constante (não depende de x), sua derivada é zero:
C'=0.
Logo
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Resumo didático e motivação para a prova: sempre que uma expressão algebraica/funcional não contém a variável com respeito à qual estamos diferenciando, ela é uma constante e sua derivada é zero. Em problemas com composições longas, antes de tentar aplicar regra da cadeia, verifique se a variável realmente aparece — isso pode economizar muito tempo (e pânico) na prova.

Resposta

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