Ache a derivada da função f(x)=ln |cos sec (3 x) cotg(3 x)|.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl|cosl(sec(3x)r),cot(3x)r|
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e a derivada de logaritmo de valor absoluto:
ddxln|u(x)|=u'(x)u(x)

Passo 2

Reescrevemos f como soma de logaritmos:
f(x)=lnl|cos(sec(3x))r|+lnl|cot(3x)r|

Passo 3

Derivada da primeira parcela. Seja
u(x)=cosl(sec(3x)r)
Então
u'(x)=-sinl(sec(3x)r)cdotddxl[sec(3x)r] =-sinl(sec(3x)r)cdotl[sec(3x)tan(3x)cdot3r]
Logo, por ddxln|u|=u'/u,
ddxlnl|cos(sec(3x))r| =-3,sin(sec(3x)),sec(3x),tan(3x)cos(sec(3x)) =-3,tan(3x),sec(3x),tanl(sec(3x)r)

Passo 4

Derivada da segunda parcela. Para v(x)=cot(3x) temos
v'(x)=-csc^2(3x)cdot3=-3,csc^2(3x)
Então
ddxlnl|cot(3x)r| =v'(x)v(x) =-3,csc^2(3x)cot(3x) =-3,1/sin^2(3x)cos(3x)/sin(3x) =-3sin(3x),cos(3x)

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
f'(x) =-3,tan(3x),sec(3x),tanl(sec(3x)r) -3sin(3x),cos(3x)

Resposta

f'(x) =-3,tan(3x),sec(3x),tanl(sec(3x)r) -3sin(3x),cos(3x)

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