Determine o centro e o raio das circunferências representados pelas equações. Apresente um esboço para cada caso.
4 x^2+4 y^2+12 x-32 y+37=0.

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio da circunferência dada por
4x^2 + 4y^2 + 12x - 32y + 37 = 0
O conteúdo é identificação de círculo por meio de completar quadrados para obter a forma padrão
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2

Passo 2

Dividimos toda a equação por 4 para que os coeficientes de x^2 e y^2 fiquem iguais a 1:
x^2 + y^2 + 3x - 8y + 374 = 0

Passo 3

Reescrevemos agrupando termos em x e y e adicionamos/subtraímos os termos necessários para completar o quadrado:
x^2 + 3x + y^2 - 8y = -374
Para x^2 + 3x adiciona-se l(tfrac32r)^2 = tfrac94;
para y^2 - 8y adiciona-se 4^2 = 16.
Assim:
x^2 + 3x + tfrac94 + y^2 - 8y + 16 = -tfrac374 + tfrac94 + 16

Passo 4

O lado esquerdo vira quadrados completos e o direito se simplifica:
(x + tfrac32)^2 + (y - 4)^2 = -tfrac374 + tfrac94 + 16 = 9
Logo a forma padrão é
(x - (-tfrac32))^2 + (y - 4)^2 = 3^2,
o que dá imediatamente o centro e o raio.

Resposta

Centro = l(-tfrac32,,4r), Raio = 3.

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