Encontre uma equação da reta tangente à curva x sen y+cos 2 y= sen x, no ponto (0, pi / 4).

Passo 1

O enunciado define a curva implícita xsin y + cos 2y = sin x e pede a reta tangente no ponto l(0,tfracpi4r). Vamos usar derivação implícita para obter dydx e depois a forma ponto–inclinação da reta:
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(xsin y) = sin y + xcos y,dydx,
ddx(cos 2y) = -sin 2ycdot 2,dydx,
ddx(sin x) = cos x
Somando essas derivadas, obtemos a relação
sin y + xcos y,dydx ;-;2sin 2y,dydx = cos x

Passo 3

Avaliar em x=0, y=tfracpi4. Sabemos
sin(pi/4)=tfracraiz22, cos0=1 e sin2y=sin(pi/2)=1.
Substituindo na equação derivada:
raiz22 + 0cdotdydx ;-;2cdot1cdotdydx = 1
raiz22 - 2dydx = 1 Longrightarrow -2dydx = 1 - raiz22 Longrightarrow dydx = raiz22-12 = raiz24 - 12

Passo 4

A reta tangente em l(0,tfracpi4r) com coeficiente angular
m = raiz24 - 12
é dada por
y - pi4 = l(raiz24-12r)(x-0),
ou seja,
y = l(raiz24-12r)x + pi4

Resposta

y = l(raiz24-12r)x + pi4

Exercícios relacionados