Ache a derivada da função f(x)=sen^2 3^arctg x^4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(senl(3^arctg(x^4)r)r)^2
Aqui vamos usar várias vezes a regra da cadeia: primeiro para a função quadrática externa sen^2(u), depois para sen(u), em seguida para a exponencial 3^v com v=arctg(x^4) e, por fim, para arctg(x^4).

Passo 2

Considere g(u)=sen^2(u). Pela regra da cadeia,
g'(u)=2,sen(u)cos(u),
ou seja,
ddxl[sen^2(u(x))r] =2,sen(u(x))cos(u(x))cdot u'(x)

Passo 3

Defina
u(x)=3^arctg(x^4)
Para h(v)=3^v temos
h'(v)=3^vln(3),
logo, aplicando novamente a cadeia,
u'(x) =3^arctg(x^4)ln(3);ddxl[arctg(x^4)r]

Passo 4

Agora derivamos v(x)=arctg(x^4). Como
ddxl[arctg(t)r] =t'1+t^2,
com t=x^4 obtemos
ddxl[arctg(x^4)r] =4x^31+(x^4)^2 =4x^31+x^8

Passo 5

Juntando tudo em f'(x)=2,sen(u)cos(u)cdot u'(x), substituímos u(x) e suas derivadas:
f'(x) =2,senl(3^arctg(x^4)r), cosl(3^arctg(x^4)r), 3^arctg(x^4)ln(3), 4x^31+x^8

Passo 6

Para ficar mais enxuto, use a identidade trigonométrica
2,sen(a)cos(a)=sen(2a)
Então
f'(x) =4x^3,ln(3);3^arctg(x^4), sen!l(2cdot3^arctg(x^4)r) 1+x^8

Resposta

f'(x) =4x^3,ln(3);3^arctg(x^4), sen!l(2cdot3^arctg(x^4)r) 1+x^8

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