Exercício 16. (F. 4.2, ex.2) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O enunciado trata da equação do calor unidimensional
em
(t,x)in]0,infty[times]0,l[ , com condições de contorno mistas
e condição inicial
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos usar a decomposição em solução estacionária mais transiente.
Passo 2
Procuramos a solução estacionária
us(x) que satisfaz
Integrando duas vezes,
us(x)=A x+B . Da condição
us'(l)=A=0 segue
A=0 , e da condição
us(0)=B=C segue
Passo 3
Definimos a parte transiente
Então
v satisfaz
Passo 4
Aplicamos separação de variáveis
v(t,x)=T(t),X(x) . Isso leva ao problema-valor próprio em
x
As soluções não-triviais ocorrem para
com autofunções
Passo 5
A parte transiente geral é
Os coeficientes
Bn vêm da expansão de
v(0,x)=50-C :
pois
cos(mun l)=cosl((2n-1)pi/2r)=0 .
Passo 6
Voltando a
u(t,x)=C+v(t,x) , obtemos a solução completa
onde
Resposta
Ou, de forma simplificada, com
mun=(2n-1)pi/(2l) :