Exercício 16. (F. 4.2, ex.2) Resolva a equação abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x),(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=C, partial upartial x(t, l)=0, t>0 u(0, x)=50, forall x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional
partial upartial t(t,x)=k,partial^2upartial x^2(t,x),
em (t,x)in]0,infty[times]0,l[, com condições de contorno mistas
u(t,0)=C, partial upartial x(t,l)=0,
e condição inicial
u(0,x)=50
O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos usar a decomposição em solução estacionária mais transiente.

Passo 2

Procuramos a solução estacionária us(x) que satisfaz
us''(x)=0, us(0)=C, us'(l)=0
Integrando duas vezes, us(x)=A x+B. Da condição us'(l)=A=0 segue A=0, e da condição us(0)=B=C segue
us(x)=C

Passo 3

Definimos a parte transiente
v(t,x)=u(t,x)-us(x)=u(t,x)-C
Então v satisfaz
vt=k,vxx, v(t,0)=0, vx(t,l)=0, v(0,x)=50-C

Passo 4

Aplicamos separação de variáveis v(t,x)=T(t),X(x). Isso leva ao problema-valor próprio em x
X''+lambda X=0, X(0)=0, X'(l)=0
As soluções não-triviais ocorrem para
mun=raizlambdan=(2n-1)pi2l, n=1,2,dots
com autofunções
Xn(x)=sinl(mun xr)

Passo 5

A parte transiente geral é
v(t,x)=sumn=1^infty Bn,e^-kmun^2t,sin(mun x)
Os coeficientes Bn vêm da expansão de v(0,x)=50-C:
Bn=2lintegral0^l(50-C)sin(mun x),dx =(50-C),2l,1-cos(mun l)mun =(50-C),2l,mun,
pois cos(mun l)=cosl((2n-1)pi/2r)=0.

Passo 6

Voltando a u(t,x)=C+v(t,x), obtemos a solução completa
u(t,x)=C +sumn=1^infty gl[ (50-C),2l,mun,e^-kmun^2t,sin(mun x) gr],
onde
mun=(2n-1)pi2l

Resposta

boxed u(t,x) = C + sumn=1^infty gl[ (50-C),2l,(2n-1),pi/(2l), e^-kl((2n-1)pi/(2l)r)^2 t, sin!l(tfrac(2n-1)pi2l,xr) gr]
Ou, de forma simplificada, com mun=(2n-1)pi/(2l):
u(t,x)=C +sumn=1^infty (50-C),2l,mun,e^-kmun^2t,sin(mun x)

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