Ache a derivada da função indicada
Passo 1
O enunciado pede: "Ache a derivada da função indicada
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é composta por duas parcelas:
e . - Não há outras informações explícitas sobre
no enunciado. Portanto, existe uma ambiguidade: pode ser uma constante (coeficiente multiplicando ) ou pode ser uma função de escrita sem parênteses (isto é, ). Vou explicitar essa ambiguidade e, a seguir, escolher a interpretação mais simples e explicar por quê.
Passo 2
Conceitos essenciais sobre derivada (aula rapidinha):
- A derivada de uma função mede a taxa de variação instantânea; formalmente, a derivada de
em é
quando esse limite existe.
- Regras úteis (que vamos usar): linearidade e regra do produto (aparecerá se
for função). - Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas:
- Regra do fator constante: se
é constante, . - Regra do produto:
.
Passo 3
Derivando por partes usando a regra da soma:
Agora precisamos calcular separadamente
e
.
Passo 4
Derivada de
:
É um resultado padrão (pilar das derivadas trigonométricas) que
É um resultado padrão (pilar das derivadas trigonométricas) que
Uma justificativa rápida usando a definição: aplicar a fórmula da diferença de seno e os limites fundamentais
e
leva exatamente a
. Então já temos a primeira parcela da derivada.
Passo 5
Interpretação de
e escolha do método:
- Interpretação A (mais simples):
é uma constante (um número fixo). Então é o produto de uma constante por . - Interpretação B (mais geral):
é uma função de , isto é, , e significa .
Segundo o critério de escolher o método mais básico quando houver opções, e pela notação sem parênteses (que frequentemente indica multiplicação por uma constante), escolho a Interpretação A como a oficial aqui. Vou, porém, mostrar depois o que ocorre na Interpretação B para você não ser pego de surpresa na prova.
Passo 6
Cálculo de
na Interpretação A (
constante):
- Usamos a regra do fator constante:
. - Derivada de
é , pois
Portanto
Passo 7
Combinar as parcelas:
Juntando com
, obtemos
Juntando
Passo 8
Observação (se
for função): caso
na verdade signifique
, então aplicaríamos a regra do produto e teríamos
Nesse caso a derivada seria
Note que, se
for constante,
e essa fórmula reduz-se a
, concordando com a interpretação A.