Ache a derivada da função indicada
f(t)=\operatorname{sen} t+g t

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a derivada da função indicada f(t)=\operatorname{sen} t+g t".
Informações dadas:
  • A função é composta por duas parcelas: \operatorname{sen} t e g t.
  • Não há outras informações explícitas sobre g no enunciado. Portanto, existe uma ambiguidade: g pode ser uma constante (coeficiente multiplicando t) ou pode ser uma função de t escrita sem parênteses (isto é, g(t)). Vou explicitar essa ambiguidade e, a seguir, escolher a interpretação mais simples e explicar por quê.

Passo 2

Conceitos essenciais sobre derivada (aula rapidinha):
  • A derivada de uma função mede a taxa de variação instantânea; formalmente, a derivada de f em t é
f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h},
quando esse limite existe.
  • Regras úteis (que vamos usar): linearidade e regra do produto (aparecerá se g for função).
    • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas:
    \bigl(u(t)+v(t)\bigr)'=u'(t)+v'(t).
    • Regra do fator constante: se c é constante, \bigl(c\cdot u(t)\bigr)'=c\cdot u'(t).
    • Regra do produto: \bigl(u(t)v(t)\bigr)'=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).

Passo 3

Derivando por partes usando a regra da soma:
\bigl(\operatorname{sen} t + g t\bigr)'=(\operatorname{sen} t)'+(g t)'.
Agora precisamos calcular separadamente (\operatorname{sen} t)' e (g t)'.

Passo 4

Derivada de \operatorname{sen} t:
É um resultado padrão (pilar das derivadas trigonométricas) que
(\operatorname{sen} t)'=\operatorname{cos} t.
Uma justificativa rápida usando a definição: aplicar a fórmula da diferença de seno e os limites fundamentais \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0 leva exatamente a \operatorname{cos} t. Então já temos a primeira parcela da derivada.

Passo 5

Interpretação de (g t)' e escolha do método:
  • Interpretação A (mais simples): g é uma constante (um número fixo). Então g t é o produto de uma constante por t.
  • Interpretação B (mais geral): g é uma função de t, isto é, g(t), e g t significa g(t)\cdot t.
Segundo o critério de escolher o método mais básico quando houver opções, e pela notação sem parênteses (que frequentemente indica multiplicação por uma constante), escolho a Interpretação A como a oficial aqui. Vou, porém, mostrar depois o que ocorre na Interpretação B para você não ser pego de surpresa na prova.

Passo 6

Cálculo de (g t)' na Interpretação A ( g constante):
  • Usamos a regra do fator constante: \bigl(g\cdot t\bigr)'=g\cdot (t)'.
  • Derivada de t é 1, pois
\frac{d}{dt}t=\lim_{h\to 0}\frac{(t+h)-t}{h}=1.
Portanto
(g t)'=g\cdot 1=g.

Passo 7

Combinar as parcelas:
Juntando (\operatorname{sen} t)'=\operatorname{cos} t com (g t)'=g, obtemos
f'(t)=\operatorname{cos} t + g.

Passo 8

Observação (se g for função): caso g na verdade signifique g(t), então aplicaríamos a regra do produto e teríamos
(g(t)\cdot t)'=g'(t)\cdot t + g(t).
Nesse caso a derivada seria
f'(t)=\operatorname{cos} t + g'(t)\,t + g(t).
Note que, se g for constante, g'(t)=0 e essa fórmula reduz-se a \operatorname{cos} t + g, concordando com a interpretação A.

Resposta

\operatorname{cos} t + g

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