Ache a derivada da função indicada
g(y)=y \operatorname{sen} y+\cos y

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada da função g dada por
g(y)=y\sin y+\cos y.
Pergunta: qual é g'(y), a derivada de g em função de y?\n
Informações relevantes fornecidas: a função é a soma de dois termos, y\sin y (produto entre y e \sin y) e \cos y (cosseno de y). Não há restrição adicional no enunciado, então assumimos y real e que as funções trigonométricas têm suas derivadas usuais.

Passo 2

Relembre as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma didática):\n
  • Regra da linearidade (soma): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções u(y) e v(y),
\frac{d}{dy}\big(u(y)+v(y)\big)=\frac{d}{dy}u(y)+\frac{d}{dy}v(y).
Isto significa que posso derivar cada parcela separadamente.\n
  • Regra do produto: se temos um produto u(y)\cdot v(y), a derivada é
\frac{d}{dy}\big(u(y)v(y)\big)=u'(y)v(y)+u(y)v'(y),
ou seja, derivamos a primeira e multiplicamos pela segunda, e depois somamos a primeira vezes a derivada da segunda. Vou aplicar isso ao termo y\sin y.\n
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dy}\sin y=\cos y,
\frac{d}{dy}\cos y=-\sin y.
Aqui \cos y é o cosseno de y e -\sin y significa que a derivada do cosseno é negativa do seno.

Passo 3

Aplique a linearidade para separar a derivada da soma:
g'(y)=\frac{d}{dy}\big(y\sin y\big)+\frac{d}{dy}\big(\cos y\big).
Agora vamos calcular cada parcela.

Passo 4

Calcule \dfrac{d}{dy}\big(y\sin y\big) usando a regra do produto. Tome u(y)=y e v(y)=\sin y. Então:
u'(y)=\frac{d}{dy}y=1,
v'(y)=\frac{d}{dy}\sin y=\cos y.
Pela regra do produto:
\frac{d}{dy}\big(y\sin y\big)=u'(y)v(y)+u(y)v'(y)=1\cdot\sin y + y\cdot\cos y.
Portanto
\frac{d}{dy}\big(y\sin y\big)=\sin y + y\cos y.

Passo 5

Calcule \dfrac{d}{dy}\big(\cos y\big) usando a derivada básica do cosseno:
\frac{d}{dy}\cos y=-\sin y.

Passo 6

Some as duas parcelas obtidas:
g'(y)=\big(\sin y + y\cos y\big)+\big(-\sin y\big).
Observe que \sin y e -\sin y se cancelam, ficando
g'(y)=y\cos y.

Passo 7

Comentário final rápido (estímulo): deu sorte — o termo \sin y apareceu e cancelou com a derivada de \cos y, ficando uma expressão simples. Na prova, lembre de escrever cada passo: separar soma, aplicar produto no primeiro termo e derivada direta no segundo; a conta é curta e segura.

Resposta

g'(y)=y\cos y

Exercícios relacionados