Calcule f^{\prime}(x)
f(x)=3 x+5 \ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f dada por
f(x)=3x+5\ln x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a soma de duas parcelas: 3x e 5\ln x.
  • A presença de \ln x impõe que o domínio natural da função é x>0 (pois o logaritmo natural só está definido para x>0).

Passo 2

O que significa pedir f^{\prime}(x)?
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
que é a definição do coeficiente angular da reta tangente a f em x. Na prática de prova usamos regras de derivação para calcular isso sem fazer o limite toda vez.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=u(x)+v(x) então f'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é função, então \big(c\,g(x)\big)'=c\cdot g'(x). Aqui c sai da derivada.
  • Derivada de x: \dfrac{d}{dx}(x)=1. Rápida justificativa: pela definição do limite, \lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}1=1.
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\dfrac{1}{x} para x>0. Isso é uma fórmula padrão — você pode decorá-la ou justificar por limite/integral, mas em prova normalmente se usa direto.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo em f(x)=3x+5\ln x:
  • Derivada de 3x: use fator constante com c=3 e g(x)=x. Como g'(x)=1, temos
\frac{d}{dx}(3x)=3\cdot 1=3.
  • Derivada de 5\ln x: use fator constante com c=5 e g(x)=\ln x. Como g'(x)=\dfrac{1}{x}, temos
\frac{d}{dx}\big(5\ln x\big)=5\cdot\frac{1}{x}=\frac{5}{x}.

Passo 5

Somando as derivadas (pela linearidade):
f'(x)=3+\frac{5}{x},
válido para x>0 (mesmo domínio imposto por \ln x). Opcionalmente, podemos escrever em única fração:
f'(x)=\frac{3x+5}{x}.

Resposta

3+\dfrac{5}{x}

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