Ache a derivada da função indicada
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: encontrar a derivada dessa função, ou seja o valor de
para
genérico.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: a função é a multiplicação de uma constante por
. Não há outras condições ou restrições.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: a função é a multiplicação de uma constante
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada (isso é a base do que faremos). A derivada de uma função
num ponto
é o limite do quociente incremental quando o incremento vai a zero:
Aqui
representa um pequeno aumento em
; o quociente
mede a taxa média de variação de
entre
e
, e o limite quando
é a taxa instantânea (a derivada).
Passo 3
Uma regra muito útil e simples: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando a derivada da função. Em símbolos:
onde
é uma constante (número) e
é uma função.
Prova rápida (pela definição): se , então
Prova rápida (pela definição): se
Ou seja, podemos “puxar” a constante para fora do limite. Isso é prático: para
basta achar a derivada de
e multiplicar por
.
Passo 4
Agora precisamos da derivada de
. Vou deduzir isso a partir da definição de derivada e de duas propriedades-limite trigonométricas fundamentais:
Pequena justificativa dessas duas limites (essencial para entender por que
):
- Para
: por argumentos geométricos no círculo unitário (ou pelo teorema do confronto/squeeze), para vale a desigualdade
Como
, pelo teorema do confronto vem
.
- Para
: usamos a identidade . Então
Como
e
quando
, o produto tende a
. Logo
.
Passo 5
Agora aplicamos a definição de derivada à função
. Usamos a fórmula de adição para seno:
O quociente incremental é
Agora tomamos limite quando
. Usando os limites do Passo 4:
Somando as parcelas, obtemos
Então está provado (pela definição e pelas propriedades limites) que a derivada de
é
.
Passo 6
Voltando à nossa função
: usando a regra da constante do Passo 3 e o resultado do Passo 5,
Isso significa que a inclinação da função
em qualquer ponto
é
. Como checagem rápida: em
temos
, e isso bate com a ideia de que perto de
a função cresce com inclinação
.