Ache a derivada da função indicada
f(x)=3 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=3\operatorname{sen} x e pede: encontrar a derivada dessa função, ou seja o valor de f'(x) para x genérico.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: a função é a multiplicação de uma constante 3 por \operatorname{sen} x. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada (isso é a base do que faremos). A derivada de uma função f num ponto x é o limite do quociente incremental quando o incremento vai a zero:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h representa um pequeno aumento em x; o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} mede a taxa média de variação de f entre x e x+h, e o limite quando h\to0 é a taxa instantânea (a derivada).

Passo 3

Uma regra muito útil e simples: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando a derivada da função. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big[ c\cdot g(x)\big] = c\cdot g'(x),
onde c é uma constante (número) e g é uma função.
Prova rápida (pela definição): se F(x)=c\cdot g(x), então
F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{c\,g(x+h)-c\,g(x)}{h} =\lim_{h\to0} c\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = c\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = c\,g'(x).
Ou seja, podemos “puxar” a constante para fora do limite. Isso é prático: para f(x)=3\operatorname{sen} x basta achar a derivada de \operatorname{sen} x e multiplicar por 3.

Passo 4

Agora precisamos da derivada de \operatorname{sen} x. Vou deduzir isso a partir da definição de derivada e de duas propriedades-limite trigonométricas fundamentais:
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Pequena justificativa dessas duas limites (essencial para entender por que \frac{d}{dx}\sin x=\cos x):
  • Para \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1: por argumentos geométricos no círculo unitário (ou pelo teorema do confronto/squeeze), para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\cos h \le \frac{\sin h}{h} \le 1.
Como \lim_{h\to0}\cos h=1, pelo teorema do confronto vem \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1.
  • Para \lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0: usamos a identidade \cos h-1 = -2\sin^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big). Então
\frac{\cos h-1}{h} = -2\frac{\sin^2\!(h/2)}{h} = -2\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\cdot\frac{h}{4}\,.
Como \dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\to1 e \dfrac{h}{4}\to0 quando h\to0, o produto tende a 0. Logo \lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 5

Agora aplicamos a definição de derivada à função g(x)=\sin x. Usamos a fórmula de adição para seno:
\sin(x+h)=\sin x\cos h + \cos x\sin h.
O quociente incremental é
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{\sin x(\cos h-1) + \cos x\sin h}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Agora tomamos limite quando h\to0. Usando os limites do Passo 4:
\lim_{h\to0}\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h} = \sin x\cdot 0 =0,
\lim_{h\to0}\cos x\cdot\frac{\sin h}{h} = \cos x\cdot 1 = \cos x.
Somando as parcelas, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
Então está provado (pela definição e pelas propriedades limites) que a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 6

Voltando à nossa função f(x)=3\operatorname{sen} x: usando a regra da constante do Passo 3 e o resultado do Passo 5,
f'(x)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big) =3\cdot\cos x.
Isso significa que a inclinação da função f em qualquer ponto x é 3\cos x. Como checagem rápida: em x=0 temos f'(0)=3\cos 0=3, e isso bate com a ideia de que perto de 0 a função cresce com inclinação 3.

Resposta

f'(x)=3\cos x

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