Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Foi dada a função
em termos de e :
- São dadas as mudanças de variável
e em termos de e :
- O enunciado pede duas derivadas parciais:
Vou calcular essas duas derivadas de duas maneiras: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo
e
por suas expressões em
antes de diferenciar.
Passo 2
Explicando e aplicando a regra da cadeia (ideia e fórmulas).
-
Ideia intuitiva:
depende de e , e dependem de . Quando variamos mantendo fixo, muda por causa da mudança em e também por causa da mudança em . A regra da cadeia soma essas contribuições. -
Fórmulas gerais (para funções compostas
):
- Explicando cada termo:
-
é a taxa de variação de quando varia e é mantido fixo. -
é a taxa de variação de com respeito a (com fixo). - Produto
é então a contribuição para vinda da variação de quando muda. - Análogo para os termos com
.
-
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a regra da cadeia.
- Primeiro, calcule
e a partir de .
Explicação curta: derivada de
em relação a
é
; derivada de
em relação a
é
.
- Em seguida, calcule as derivadas parciais de
e em relação a e usando e :
Explicação: são derivadas de funções afins; por exemplo, derivada de
em relação a
é
, em relação a
é
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
e
(primeiro resultado, em termos de
, depois substituir
por expressões em
).
- Usando a fórmula para
:
Simplificando:
- Agora substitua
e :
Desenvolvendo passo a passo:
Somando:
- Agora
pela regra da cadeia:
Simplificando:
- Substitua
e :
Desenvolvendo:
Somando:
Passo 5
Método (b): substituir primeiro e depois diferenciar — verificação e ensino de técnica alternativa.
- Substitua
e diretamente em para obter como função explícita de e :
- Expanda os quadrados passo a passo (mostrar cuidado com sinais e termos mistos):
Subtraindo:
-
Agora compute as derivadas parciais diretas de
. - Derivada parcial em relação a
(mantendo fixo):
Explicação: derivada deé ; derivada de em relação a é (porque é tratado como constante); desaparece pois não depende de . - Derivada parcial em relação a
(mantendo fixo):
Explicação:é constante em relação a e some; derivada de em relação a é ; derivada de é . - Derivada parcial em relação a
Passo 6
Comparação e comentário final (motivação e dica para prova).
-
Os dois métodos dão exatamente os mesmos resultados:
- regra da cadeia (passos 2–4) produziu
e ; - substituição antes de derivar (passo 5) produziu as mesmas expressões.
- regra da cadeia (passos 2–4) produziu
-
Dica prática para a prova: se
e são funções lineares simples (como aqui), tanto faz o método; a regra da cadeia é rápida e evita expandir se quiser uma resposta em termos de ; a substituição dá uma função explícita em e pode ser mais direta quando se quer as derivadas já em termos de . Faça o que for menos propenso a erro para você.