Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
u=x^{2}-y^{2} ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Foi dada a função u em termos de x e y:
u = x^{2} - y^{2}.
  • São dadas as mudanças de variável x e y em termos de r e s:
x = 3r - s,\qquad y = r + 2s.
  • O enunciado pede duas derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial r}\quad\text{e}\quad\frac{\partial u}{\partial s}.
Vou calcular essas duas derivadas de duas maneiras: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo x e y por suas expressões em r,s antes de diferenciar.

Passo 2

Explicando e aplicando a regra da cadeia (ideia e fórmulas).
  • Ideia intuitiva: u depende de x e y, e x,y dependem de r,s. Quando variamos r mantendo s fixo, u muda por causa da mudança em x e também por causa da mudança em y. A regra da cadeia soma essas contribuições.
  • Fórmulas gerais (para funções compostas u(x(r,s),y(r,s))):
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
  • Explicando cada termo:
    • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando x varia e y é mantido fixo.
    • \dfrac{\partial x}{\partial r} é a taxa de variação de x com respeito a r (com s fixo).
    • Produto \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial r} é então a contribuição para \dfrac{\partial u}{\partial r} vinda da variação de x quando r muda.
    • Análogo para os termos com y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a regra da cadeia.
  • Primeiro, calcule \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} a partir de u=x^{2}-y^{2}.
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y.
Explicação curta: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; derivada de -y^{2} em relação a y é -2y.
  • Em seguida, calcule as derivadas parciais de x e y em relação a r e s usando x=3r-s e y=r+2s:
\frac{\partial x}{\partial r} = 3,\qquad \frac{\partial x}{\partial s} = -1,
\frac{\partial y}{\partial r} = 1,\qquad \frac{\partial y}{\partial s} = 2.
Explicação: são derivadas de funções afins; por exemplo, derivada de 3r-s em relação a r é 3, em relação a s é -1.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial s} (primeiro resultado, em termos de x,y, depois substituir x,y por expressões em r,s).
  • Usando a fórmula para \dfrac{\partial u}{\partial r}:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r} = (2x)\cdot 3 + (-2y)\cdot 1.
Simplificando:
\frac{\partial u}{\partial r} = 6x - 2y.
  • Agora substitua x=3r-s e y=r+2s:
\frac{\partial u}{\partial r} = 6(3r - s) - 2(r + 2s).
Desenvolvendo passo a passo:
6(3r - s) = 18r - 6s,
-2(r + 2s) = -2r - 4s.
Somando:
\frac{\partial u}{\partial r} = (18r - 6s) + (-2r - 4s) = 16r - 10s.
  • Agora \dfrac{\partial u}{\partial s} pela regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} = (2x)\cdot(-1) + (-2y)\cdot 2.
Simplificando:
\frac{\partial u}{\partial s} = -2x - 4y.
  • Substitua x e y:
\frac{\partial u}{\partial s} = -2(3r - s) - 4(r + 2s).
Desenvolvendo:
-2(3r - s) = -6r + 2s,
-4(r + 2s) = -4r - 8s.
Somando:
\frac{\partial u}{\partial s} = (-6r + 2s) + (-4r - 8s) = -10r - 6s.

Passo 5

Método (b): substituir primeiro e depois diferenciar — verificação e ensino de técnica alternativa.
  • Substitua x=3r-s e y=r+2s diretamente em u=x^{2}-y^{2} para obter u como função explícita de r e s:
u(r,s) = (3r - s)^{2} - (r + 2s)^{2}.
  • Expanda os quadrados passo a passo (mostrar cuidado com sinais e termos mistos):
(3r - s)^{2} = 9r^{2} - 6rs + s^{2},
(r + 2s)^{2} = r^{2} + 4rs + 4s^{2}.
Subtraindo:
u(r,s) = (9r^{2} - 6rs + s^{2}) - (r^{2} + 4rs + 4s^{2}) = 8r^{2} - 10rs - 3s^{2}.
  • Agora compute as derivadas parciais diretas de u(r,s).
    • Derivada parcial em relação a r (mantendo s fixo):
    \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\big(8r^{2} - 10rs - 3s^{2}\big) = 16r - 10s.
    Explicação: derivada de 8r^{2} é 16r; derivada de -10rs em relação a r é -10s (porque s é tratado como constante); -3s^{2} desaparece pois não depende de r.
    • Derivada parcial em relação a s (mantendo r fixo):
    \frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s}\big(8r^{2} - 10rs - 3s^{2}\big) = -10r - 6s.
    Explicação: 8r^{2} é constante em relação a s e some; derivada de -10rs em relação a s é -10r; derivada de -3s^{2} é -6s.

Passo 6

Comparação e comentário final (motivação e dica para prova).
  • Os dois métodos dão exatamente os mesmos resultados:
    • regra da cadeia (passos 2–4) produziu \dfrac{\partial u}{\partial r}=16r-10s e \dfrac{\partial u}{\partial s}=-10r-6s;
    • substituição antes de derivar (passo 5) produziu as mesmas expressões.
  • Dica prática para a prova: se x(r,s) e y(r,s) são funções lineares simples (como aqui), tanto faz o método; a regra da cadeia é rápida e evita expandir se quiser uma resposta em termos de x,y; a substituição dá uma função explícita em r,s e pode ser mais direta quando se quer as derivadas já em termos de r,s. Faça o que for menos propenso a erro para você.

Resposta

\dfrac{\partial u}{\partial r}=16r-10s
\dfrac{\partial u}{\partial s}=-10r-6s

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